AUTARQUIA EDUCACIONAL DE AFOGADOS DA INGAZEIRA

FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE AFOGADOS DA INGAZEIRA
ALUNA: ROSA MESSIAS PEREIRA DA SILVA
PROFESSORA: ELIANA NOGUEIRA
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR
E-MAIL: rosapinkrosinhapink@hotmail.com

Noções de Base e Dimensão

          Para uma aprendizagem significativa conhecer um pouco sobre a teoria dos conteúdos pode ser uma experiência educacional mais empolgante e estimulante, pois é a base para quase toda a compreensão matemática e para muitos das grandes realizações do mundo moderno. Porém a necessidade de demonstrar algumas noções de conceito matemático sobre a teoria de base e dimensão que fazem parte da Álgebra Linear.

          Em matemática, a dimensão de um espaço é o número de parâmetros necessários para identificar um ponto desse espaço,porém na álgebra linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram esse espaço.

          A idéia de dimensão, embora uma das mais intuitivas e antigas da geometria, não foi objeto de uma teoria exata e satisfatória senão há cinquenta anos, e só nos ultimos tempos atingiu maior grau de perfeição. O problema, já abordado em “os elementos” de Euclides, foi retomado por volta de 1900, sob um novo aspecto, pelo célebre matemático Henri Poincaré. Suas ideias serviram de base ás investigações anteriores, que deram origem a uma das mais teorias geométricas.

            De certo modo, pode-se dizer que a questão da dimensão foi discutida com maior exatidão na teoria de corpos, pois se sabe atualmente que a extensão de um corpo é um espaço vetorial sobre o corpo original e a ordem da extensão é a dimensão deste espaço.

            De acordo com um matemático alemão chamado Richard Dedekind (1831 . 1916) deu a definição e as propriedades do que ele chamou de irredutibilidade (o que é atualmente conhecido como independência linear). Então, ele definiu um espaço (. Schaar.) Ω como o conjunto de todas as possíveis combinações lineares de um conjunto de n números irredutíveis sobre um corpo A. Ele chamou estes elementos de base de Ω e definiu as coordenadas de um elemento qualquer de Ω. Daí, ele apresentou três propriedades e provou que elas são as características de Ω.

(1). Os números de Ω se reproduzem pela adição e subtração..

(2). Todo produto de um número de Ω por um número de A é um númerodeΩ.

(3). Há n números independentes em Ω, mas, qualquer conjunto de n+1 números é dependente..

         Dedekind mostrou que se podem deduzir essas propriedades da definição e que somente (3) necessita de prova, que ele fez por indução, obtendo um resultado equivalente ao que Grassmann obteve com o teorema da mudança de base. Além disso, nesta prova, Dedekind não usou a teoria de equações lineares, embora utilizasse a representação com coordenadas. Ele também deduziu que todo sistema de n números irredutíveis de Ω constituem uma base de Ω. Dedekind ainda mostrou que um sistema de n números é constituído de irredutíveis se, e somente se, o determinante de suas coordenadas na base original não for zero (o equivalente da mudança 6 de base).

        Para Steinitz uma base de L é um conjunto de elementos tais que qualquer elemento de L pode ser representado de maneira única como uma combinação linear deles. Steinitz queria provar que toda base de L possuí n elementos e que todo conjunto de n elementos linearmente independentes formam uma base de L. Para alcançar esta meta, ele precisava provar que a ordem de uma extensão não pode ser maior que o número de geradores, o que ele de fato provou usando sua definição de base em termos de sistema de coordenadas, fazendo sua prova no contexto de n-uplas e equações lineares. Apesar de ser dedutível no trabalho de Dedekind, esta foi a primeira prova explícita, (desde a versão de 1862 do livro de Grassmann) de que um conjunto de n geradores não pode gerar um espaço de dimensão maior que n. De fato, após alguns resultados preparatórios, ele formulou três teoremas finais cujos resultados, quando relacionados com dependência algébrica são equivalentes ao teorema de mudança de base, ao teorema sobre completamente de um sistema independente em uma base, à invariância do número de elementos na base de um espaço linear e a propriedade da dimensão de um subespaço de um espaço linear de dimensão finita.

          A maneira que Steinitz apresentou seus resultados é tão dedutiva que se pode dizer que eles estão próximos da definição moderna do conceito geral de dependência (seja ela algébrica ou linear) de onde se poderiam deduzir os conceitos de dimensão e base.

Após comentar sobre a teoria base e dimensão aqui estão exemplos de dimensão em todos os domínios da ciência:

• Uma curva simples é um continuo a uma dimensão; é possível numerar os seus pontos com uma variável, isto é, pelo comprimento do arco da curva, a partir de certo ponto fixo.

• O tempo é um continuo a uma dimensão, pois se fixam os instantes por um número.

• Uma porção de superfície, de esfera, por exemplo, é um continuo a duas dimensões, cujos pontos podem ser descritos por dois números, ou seja, as duas coordenadas de uma carta topográfica da superfície: longitude e latitude.

• Os movimentos de um segmento, no plano, constituem um contínuo a três dimensões: qualquer movimento é dado por duas translações independentes e por uma rotação.

• Analogamente, os movimentos de um corpo no espaço têm seis graus de liberdade: três translações independentes e uma rotação que é dada por três números. Os movimentos espaço, dados por seis números, podem, portanto, ser representados por pontos do espaço a seis dimensões. (se fixarmos o ponto de um corpo em movimento, este terá apenas três graus de liberdade os da rotação. Se fixarmos dois pontos haverá só um grau de liberdade: o da rotação em torno da reta definida pelos dois pontos.) os físicos tem bem presente a particular importância do numero desses graus de liberdade, por exemplo, em termodinâmica.

• O estado de uma molécula em movimento pode ser dado por seis números: as três coordenadas do lugar e as três componentes da sua velocidade. Na teoria cinética dos gases, o estado de um gás constituído por N moléculas será dado, então, por 6N números e os diversos estados do gás podem ser representados pelos pontos do espaço a 6N dimensões.

• Para fixar o lugar e o tempo de um ponto que se desloca, ou de uma observação, necessitamos de quatro números: o continuo espaço-tempo é a quatro dimensões e podemos representá-lo pelos pontos do espaço a quatro dimensões, o que é de grande importância na Teoria da Relatividade.

• O espaço projetivo, ampliação do espaço geométrico euclidiano, tem quatro dimensões, sendo obtidos do euclidiano pela adição ao mesmo dos pontos que não se acham a uma distância finita da origem, os pontos impróprios ou pontos infinitos.

Posteriormente tendo demonstrado aplicação da dimensão na prática para necessidade social e humana vendo que a base e dimensão ambos estão interligados, percebemos a necessidade dessas duas presunções, pois as mesmas são imprescindíveis na matemática que por sua vez desenvolve conceitos, hipóteses e teses científicas auxiliando no progresso tecnológico para satisfação de um mundo contemporâneo.

BIBLIOGRAFIA:

*http://www.ime.usp.br

*postila “As noções de espaço e dimensão”

* Apostila da UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ:

http://www.4shared.com/file/DunyBvls/Apostila_de_Algebra_Linear.

COMENTÁRIO: Esta pesquisa teve a proposta de modo a adequar ao processo de ensino e de aprendizagem para aluno onde deverá beneficiar na construção de conceitos importantes sobre dimensão e espaço.