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segunda-feira, 13 de dezembro de 2010

Autarquia Educacional de Afogados da Ingazeira - AEDAI

Faculdade de Formação de Professores de Afogados da Ingazeira - FAFOPAI

Departamento de matemática

Disciplina: Álgebra Linear

Professora: Eliana Nogueira

Aluno: Edson Marcos Silvestre Campos

E-mail: emarlg@hotmail.com



A ALGEBRA LINEAR / TRANSFORMAÇÕES LINEARES: UMA GRANDE PARCERIA



Atualmente, a matemática é distribuída de forma pronta e acabada, sendo ela melhor compreendida quando é explorada devidamente, alem de seu histórico ser o maior aliado para o seu entendimento. Todos os conhecimentos que hoje adquirimos na matemática básica ou complementar tiveram inicio na babilônia por volta do século IX e VIII a.C. Nesta época, os egípcios e babilônios já desenvolviam a álgebra no seu cotidiano, de acordo com suas necessidades, por meio de sistemas aritméticos avançados, facilitando a resolução de problemas que surgiam no seu cotidiano, e que hoje seriam resolvidos por meio de equações lineares, equações quadráticas e equações indeterminadas. Em outros casos esses sistemas aritméticos eram resolvidos através de equações geométricas, desenvolvidas pelos seguintes matemáticos: Papiro Rhind, Sulba Sutras e elementos de Euclides.

A álgebra tem como objetivo estudar as generalizações dos conceitos e operações de aritmética. Esse termo foi desenvolvido pelo seu pai e possíveis seguidores: Al – Khawarizmi (780-850), François Viète (1540-1603) e Diofante (250-350), respectivamente. Com base nesse contexto podemos dizer que a álgebra linear é um avanço continuo da álgebra, pelo qual estuda-se equação de sistemas lineares algébricos ou diferenciais e que se utiliza alguns fatores como: vetores, espaços, subespaços, matrizes e entre outros que contribuem para a sua resolução enquanto álgebra.

Através deste histórico podemos dizer que algumas funções ordinais como: a função f definida pela equação f(x) = x2, transformam um número real em outro número real, no caso, no seu quadrado. Por exemplo, o número 2 é transformado em 4, isto é, f(2) = 4. Com isso podemos observar que as os tipos especiais de função transformam vetores em outros vetores, preservando assim as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar, podendo ser chamada também de Aplicação linear ou mapa linear nos casos em que o domínio e contradomínio coincidem é usada à expressão Operador Linear.

Exemplo: Lembramos que uma função f de um conjunto A em um conjunto B, f : A em B, é uma regra que associa a cada elemento do conjunto A, um único elemento do conjunto B. O conjunto A é chamado domínio e o conjunto B é chamado contradomínio. O subconjunto de B formado pelos elementos b pertencente à B tais que f (a) = b, para algum a pertencente à A é chamado (conjunto) imagem de f . Para todo elemento a pertencente à A, f (a) é chamado a imagem de a por f . Dizemos também que f  leva a em f (a). Através deste e de outros exemplos, podemos definir a transformação linear com as seguintes propriedades:


Sejam V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K.
Diz-se que uma função T de V em W é uma transformação linear se
(\forall v,w\in V):T(v+w)=T(v)+T(w);
(\forall\alpha\in K)(\forall v\in V):T(\alpha v)=\alpha T(v). Exemplos de transformações lineares:
a função T de K em K definida por T(x) = 3x;
a função T de K2 em K definida por T(x,y) = x + y;
a função T de K2 em K2 definida por T(x,y) = (3x + y,2x − 2y);
se D for o espaço das funções deriváveis de R em R e se F for o espaço de todas as funções de R em R, então a derivação (isto é, a função de D em C que envia cada função na sua derivada) é linear. Em contrapartida, se a = K \ {0}, então a função T de K em K definida por T(x) = x + a não é uma transformação linear.
Se T for uma função de um espaço vetorial V num espaço vetorial W, então afirmar que T é linear equivale a afirmar que T preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores v1,v2 = V e dois escalares α12 = K:
T1v1 + α2v2) = α1T(v1) + α2T(v2)
Para qualquer aplicação linear T de V em W tem-se:
T(0) = 0, pois T(0) = T(0 − 0) = T(0) − T(0) = 0.
se v = V, então T( − v) = − T(v), pois T(v) + T( − v) = T(vv) = T(0) = 0.
     Com isso podemos concluir que álgebra tem um papel importantíssimo para a matemática e para as transformações lineares, facilitando a resolução de situações do nosso cotidiano. Alem disso, a álgebra passou por diversos momentos e transformações para almejar o que hoje é estudado e compreendido na matemática, com uma vasta significação e aplicação para as necessidades humanas. Com base neste breve e amplo contexto sobre a álgebra finalizo com a seguinte frase: “Complicar aquilo que é simples é lugar-comum; tornar simples o que é complicado é criatividade.” (Charles Mings - Músico americano), ou seja, ninguém tem a coragem que todos esses “loucos” pela matemática tiveram de tornar uma coisa complexa em uma coisa tão simples que utilizamos freqüentemente no nosso cotidiano. Espero que continue a surgir pessoas corajosas como estas que buscam o fácil e pratico pra toda a humanidade.





REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS


• http://www.ime.unicamp.br/~hlopes/gaalt00.pdf

• http://www.ead.ftc.br/portal/upload/mat/4p/04-AlgebraLinear.pdf

• http://www.ceset.unicamp.br/~telmag/ST%20362/aula_ga_transf_linear.doc

• http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt2.pdf

• http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear

• http://pt.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear

• http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear

      
       
FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE
AFOGADOS DA INGAZEIRA
DEPARTAMENTO DE MATERMATICA      VI – PERÍODO
DISCIPLINA : ALGEBRA LINEAR  
 PROF: ELIANA NOGUEIRA SATURNINO
ALUNO: DIEGO KENNEDY DOS REIS




TRASFORMAÇÃO LINEAR – UMA FUNÇÃO  ESPECIAL DA ALGEBRA LINEAR.



            Este artigo tem a finalidade de mostrar o conceito de Transformação linear de uma forma mais simples e de informar leitores sobre aspectos não conhecidos ainda do ramo da matemática que trabalha com essa função toda especial ( Transformação linear ) que é a ÁLGEBRA em especial a ÁLGEBRA LINEAR. Cumprindo assim as exigências da cadeira de álgebra linear do curso de licenciatura plena em matemática da Faculdade de Formação de Professores de Afogados da Ingazeira – FAFOPAI – por meio da professora  Eliana Nogueira Saturnino.
            Antes de falar de transformação linear, falarei um pouco da historia da álgebra. Como pouco se conhece há relatos de que a álgebra surgiu na antiga Babilônia, onde matemáticos realizavam cálculos algébricos por meio de um sistema aritmético desenvolvido por eles que os permitiam calcular soluções de problemas algébricos que sendo hoje seriam resolvidos por meio de equações lineares, quadráticas e indeterminadas. Já com outros matemáticos antigos como descrito no primeiro milênio a.C seriam resolvidos utilizando métodos geométricos, ou seja, a GEOMETRIA que por sinal é uma das ciências mais antigas e que deu origem a matemática hoje utilizada por nós.
            O nome ALGEBRA hoje é utilizado e associado apenas na matemática, mas anteriormente teve vários outros significados por exemplo na Espanha depois de ter sido levado pelos mouros, o termo  algebrista era associado a alguém que consertava ossos quebrados. Passando assim por muitas traduções e modificações para se chegar ao temo que utilizamos hoje. Data-se a origem do temo álgebra por volta de 800 d.C por um matemático nascido na pérsia chamado AL – Khwarizma que é considerado o fundador da álgebra como a conhecemos hoje.
            Muitos métodos e ferramentas da álgebra, neste caso da álgebra linear são muito antigos como a exemplo do método de Eliminação Gaussiana  que relata-se que foi citado por volta do século II d.C.  Esse método recebe esse nome por ter sido desenvolvido por CARL FRIEDRICH GAUSS um matemático, astrônomo e físico que viveu na cidade de  Brunswick na Alemanha e em 1799, defende na Universidade de Helmstadt, a sua tese de doutoramento, onde fornece uma primeira demonstração satisfatória do teorema fundamental da álgebra. Os seus trabalhos sobre a teoria dos números são testemunhos de uma concepção resolutamente moderna da natureza abstrata da matemática. Contribuindo assim muito para a álgebra e a matemática contemporânea.
            Segundo DIEUDONNÉ ( 1981: P1 ) foi em Gauss, isto é por meio dele que o conceito de transformação linear ( a representação de uma variáveis como combinação de outras variáveis) tornou - se conhecidas entre os matemáticos da época apenas a partir do século XVIII depois de ter publicado em seu livro: Disquisitiones generales cerca superfícies curvas (1827) escrito em latim. Essa técnica teve na pessoa de GAUSS seu maior divulgador, mas os primeiros escritos com a  notações abreviadas para transformação linear tornaram-se públicos bem antes em 1801 em seu outro livro: Disquisitiones Arithmeticae, tomando uma função do tipo:

f (x, y, z)= ax2 + a'y2 + a"z2 + 2bxy + 2b'xz + 2b"yz

Com coeficientes inteiros. Ele aplica então uma substituição S

x = a1 x’ + b1y’ + c1z’
y = a2 x’ + b2y’ + c2z’
z = a3 x’ + b3y’ + c3z’

Também com coeficientes inteiros. Então, para ser mais direto, Gauss ignora as variáveis e diz que f é transformada em f’ e esta em f”, respectivamente, pelas substituições:

a1 b1 c1       d1 e1 f1
a2 b2 c2   e  d2 e2 f2
a3 b3 c3       d3 e3 f3

.
Gauss conclui em seguida que f é transformada em f” pela substituição:

a1 d1 + b1d2  +c1d3          a1e1 + b1e2  +c1e3          a1d1 + b1d2  +c1d3
a2 d1 + b2d2 +c2d3            a2e1 + b2e2 +c2e3           a2d1 + b2d2 +c2d3
a3 d1 + b3d2 +c3d3           a3e1 + b3e2 +c3e3            a3d1 + b3d2 +c3d3

BASHMAKOVA (2000: p.152) nota que foi com base nessa regra que, em 1812, Cauchy apresentou seu teorema sobre multiplicação de determinantes.
Se tratando de transformação linear, para leitores que de primeira mão ainda não sabe do que se trata, para facilitar o entendimento do que é transformação linear vamos recorrer um pouco a matemática fundamental nos utilizando o conceito de função que costumeiramente estamos acostumados com funções ordinárias do tipo: f(x) = x2. Essa função transforma um número real em outro número real, no caso, no seu quadrado. Por exemplo, o número 2 é transformado em 4, isto é, f(2) = 4. Podemos ver também a transformações lineares como tipos especiais de funções da álgebra linear que transformam vetores em vetores. Podemos dizer também que a transformação linear é tipo de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar, podendo ser chamada também de Aplicação linear ou mapa linear nos casos em que o domínio e contradomínio coincidem. É usada a expressão Operador Linear. 
            Em geral, se V e W são espaços vetoriais, uma função ou TRANSFORMAÇÃO T de V para W é uma regra que associa a todo vetor x em V um único vetor em W que é denotado por T(x).
            Se x é um vetor em V, então T(x) é chamada a IMAGEM de x sobre a transformação T.
Por exemplo, se T é uma transformação do Â3 para o Â2 definida pela equação:

T(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 + x3)

Então T leva o vetor (1,1,1) no vetor T(1,1,1) = (2,2) e o vetor (3,2,0) no vetor T(3,2,0) = (5,2).
Temos então a definição de transformação linear como:
Sendo  V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação (ou aplicação) T: V ® W é chamada de LINEAR se para todos os vetores x e y em V e para todo escalar a,

·        T(x + y) = T(x) + T(y)
·        T(ax) = a T(x) 

Escrevendo  T: V® W para indicar que T aplica vetores do espaço vetorial V em vetores do espaço vetorial W. Isto é, T é uma função com domínio V, contra domínio W e cuja imagem é um subconjunto de W; lendo assim T(v) como "T de v", de modo parecido a maneira que lemos  f (x), que é lida "f de x". Mas toda transformações lineares de R em R são as funções da forma f (x) = mx onde m é um número real qualquer. Ou seja, dentre todas as funções cujos gráficos são retas, as lineares são, somente, aquelas que passam pela origem. Assim em uma função do tipo  f (x) = mx + b só será linear se somente se b= 0. o que nos leva a entender  que o nome transformação linear tenha vindo deste caso, U= R.
Vimos então que a álgebra passou por um longo processo para se chegar ao que estudamos hoje, assim também como as diversas ramificações da matemática. Por fim vimos  que  a transformação linear ocorre com freqüência na álgebra linear, mas é importante salientar que  ela também está presente em outros campos da matemática alem de ser muito importante numa vasta gama de aplicações.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS






http://hermes.ucs.br/ccet/deme/vslavier/alglin/t_linear/trans_linear.htm
JEFERSON, Tailson, Faculdade de Tecnologia e Ciência – FTC –Ead.
NELSON, Robinson dos santos, Uma breve história do desenvolvimento das teorias dos determinantes e das matrizes, São Paulo 2007.
AUTARQUIA EDUCACIONAL DE AFOGADOS DA INGAZEIRA
FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES AFOGADOS DA INGAZEIRA
PROFESSORA: ELIANA NOGUEIRA
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR
ALUNA: ROSA MESSIAS PEREIRA DA SILVA
6º PERÍODO DE MATEMÁTICA.

HISTÓRIA DA ÁLGEBRA LINEAR BUSCANDO DEFINIÇÕES PARA TRANSFORMAÇÕES LINEARES.
Entendemos que a história é uma das etapas do processo de ensino e aprendizagem e, como tal, poderá, entre outros aspectos, fornecer informações que favorecerão o aperfeiçoamento desse processo. Permanecendo dentro do contexto da matemática, a constatação da sua importância apóia- se no fato de que a matemática desempenha papel decisivo, pois permite resolver problemas da vida cotidiana, tem muitas aplicações no mundo do trabalho e funciona como instrumento essencial para a construção de conhecimentos em outras áreas curriculares. Do mesmo modo, interfere fortemente na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento e na agilização do raciocínio dedutivo do aluno.
O objetivo deste artigo é destacar algumas ideais básicas da historia da Álgebra Linear e sobre a definição de Transformação Linear, e trazer algumas reflexões sobre a mesma.
Para chegar à transformação linear um longo caminho foi percorrido sobre a origem da álgebra onde se encontra na antiga Babilônia, cujos matemáticos desenvolveram um sistema aritmético avançado, com o qual puderam fazer cálculos algébricos. Com esse sistema eles foram capazes de aplicar fórmulas e calcular soluções para incógnitas para uma classe de problemas que, hoje, seriam resolvidos como equações lineares, equações quadráticas e equações indeterminadas. Por outro lado, a maioria dos matemáticos egípcios desta era e a maioria dos matemáticos indianos, gregos e chineses do primeiro milênio a.C. normalmente resolvia estas equações por métodos geométricos, como descrito no papiro Rhind, Sulba Sutras, elementos de Euclides e os Nove capítulos da arte matemática. Os estudos geométricos dos gregos, consolidado nos elementos, deram a base para a generalização de formulas, indo além da solução de problemas particulares para sistemas gerais para especificar e resolver equações. No entanto, na história da álgebra linear moderna data do 1840s adiantado. Em 1843, Rowan Hamilton de William introduzido Quaternions, que descrevem mecânicos no espaço tridimensional. Em 1844, Hermann Grassmann publicou seu livro Lineale a Ausdehnungslehre do dado (veja referências). Arthur Cayley introduzido matrizes, uma das idéias algébricas lineares as mais fundamentais, em 1857. Apesar destes desenvolvimentos adiantados, álgebra linear foi tornado primeiramente no vigésimo século. Era foco de uma das primeiras sociedades matemáticas internacionais, sociedade de Quaternion (1899 – 1913), que apontou sistemas aliados da matemática.
         Portanto, chegamos às transformações lineares funções onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais, isto é, tanto a variável independente como a variáveis dependentes são vetores.  Este tipo de funções possui uma propriedade importante que é preservar a adição de vetores e a multiplicação de vetor por escalar.
Neste artigo apresentamos algumas definições sobre transformação lineares. Além da definição usual, apresentamos outras duas definições alternativas de transformação linear. Definimos e exemplificamos expansão e contração uniforme que também são aplicações lineares.  As transformações lineares são de fundamental importância nos estudos de Álgebra, Álgebra Linear (Álgebra de Matrizes), Cálculo, Equações Diferenciais, Análise, Geometria Diferencial e muitos outros. Transformações lineares são usadas para descrever vários tipos de mudanças geométricas, como: rotação, homotetia, cisalhamento, reflexão, além de outras deformações no plano ou no espaço. Vejamos aqui algumas definições:
Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Diz-se que F:V  W é uma aplicação linear se satisfaz às duas propriedades seguintes:
  1. Para quaisquer u,v U: F(u+v)=F(u)+F(v).
  2. Para qualquer k R e qualquer v U: F(kv)=k.F(v).
Definição alternativa 1: Sejam V e W espaços vetoriais. F:V W é uma aplicação linear se, para quaisquer u,v U e quaisquer a,b R se tem que
F(au+bv) = aF(u) + bF(v)
Definição alternativa 2: Sejam V e W espaços vetoriais. F: V  W é uma aplicação linear se, para quaisquer u, v  U e qualquer b  R se tem que
F(u+bv) = F(u) + bF(v)
Graficamente temos algo como:


Observações importantes:
  1. Uma aplicação linear também recebe o nome de Transformação linear.
  2. Na literatura mais recente sobre Álgebra Linear, quando V=W, a aplicação F recebe o nome de operador linear e quando W=R, recebe o nome de funcional linear.
  3. Se F: V  W é uma aplicação linear, então F(0)=0, onde o primeiro 0 é o vetor nulo de V e o segundo 0 é o vetor nulo de W.
  4. Para provar que uma aplicação é linear, devemos demonstrar que valem as duas propriedades descritas na definição, mas para mostrar que uma transformação não é linear, basta exibir a propriedade que não é satisfeita.
Em matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a operação operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.
Pode se concluir que as indagações aqui relatadas é um instrumento que pretende estimular a busca coletiva de soluções para o ensino dessa área. Soluções que precisam transformar-se em ações cotidianas que efetivamente tornem o ensino da matemática acessível a todos, tendo a certeza que essas definições de transformação linear apresentam aplicações na física, engenharia, ciências social e em vários ramos da matemática. Enfim para que se tirem proveito desses conhecimentos, e instigue a desenvolver outros conceitos a partir do que já possui, construindo assim um conceito formado e utilizá-los em seu beneficio para futuras situações que surgirem tanto em seu dia-a-dia como também no seu próprio meio acadêmico.
Bibliografia.


Autarquia Educacional de Afogados da Ingazeira

Faculdade Formação de Professores de Afogados da Ingazeira

Departamento de Matemática

Disciplina álgebra linear

Professora Eliana Nogueira

Aluna Isabel Cristina Pires M. dos Santos



O surgimento da álgebra com abordagem em transformação linear

 


    A álgebra surgiu de estudos detalhado de sistemas de equações lineares, a mesma iniciou-se buscando aperfeiçoar-se nos diversos países com o objetivo de criar métodos que ajudassem nas operações entre números e nas resoluções de sistemas desta espécie.


    A sua história originou-se na antiga Babilônia com métodos sofisticados, logo no mesmo período apareceu também no Egito, aonde os mesmos utilizaram-se de métodos de resolução os quais consistiam em uma estimativa inicial seguida de correção final, método chamado ´´Regra da falsa posição`` pelos Europeus.


    A álgebra também passou pela Grécia, onde foi formulada pelos Pitagóricos e por Euclides como geométrica, sendo que os mesmos seguiam os métodos dos Babilônios nas suas resoluções de equação, mas por ter um estilo pesado a álgebra geométrica não poderia sobreviver só na escrita, e sim precisava se desenvolver pelo meio oral onde existisse um mediador que explicasse os diagramas, sendo que estas escolas de instrução direta não sobreviveriam por muito tempo.


    Seguindo a sua caminhada a mesma chegou à Europa muito bem regredida tanto em estilo como em conteúdo, logo com a ajuda de alguns fatores fundamentais, como a tendência a aperfeiçoar as notações, de forma a permitir tornar o trabalho com as operações mais simples e rápido e a necessidade de introduzir novos conjuntos de números com o esforço para compreender sua formalização.


    Diante destes fatores a mesma floresceu depressa e teve seu início efetivamente no século XIX, ao ter analisado as diversas noções e métodos de séculos passados abstraídas e generalizadas, como o início da álgebra abstrata, matrizes e tensores.


    Bem como vimos até agora a álgebra é mais um dos conteúdos da matemática que também não estar sozinho, pois, estar composta por uma grande área a qual se divide em lotes como, por exemplo, os sistemas de equações lineares, a geometria analítica e a transformação linear.


    Dentre estes lotes que dividem a área da álgebra linear focaremos a seguir a transformação linear, não por ser melhor do que os demais, mas sim por ter aplicações em outros conteúdos e em vários ramos da matemática, sendo assim a transformação linear surgiu dos estudos de Euler, Johann Carl e Arthur Cayley, aonde se define como funções em que o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais, isto é, tanto a variável independente como a variável dependente são vetores.


    Essas funções possuem uma propriedade importante que é preservar a adição de vetores e a multiplicação desses vetores por escalar, logo sejam V e W espaços vetoriais, uma função f de V em W é chamada transformação linear (TL), se:

 I – f(u+v) = f(u) + f(v), qualquer u , v E V.

II - f( a.u) = af(u), e  qualquer a E aos R, e qualquer u E a V.

 
    É diante de estudo como esse que conhecemos os diversos caminhos trilhados por grandes estudiosos para se chegar a algumas definições e fórmulas, desta forma conclui-se que o decorrer desta longa caminhada de descoberta do surgimento da álgebra linear e a abordagem da transformação linear, assuntos ligados ao nosso dia a dia, foi de suma importância, pois, ter o conhecimento de assuntos de qualquer área que se pretende estudar é sempre bom porque realmente entenderemos a sua aplicação e conseguiremos interpretar suas definições em qualquer tipo de questões que envolvam o assunto e resolve-las com mais coerência.

 
Fontes:


http://www.somatematica.com.br/algebra.php


http://www.ativamente.info/historia/hist_da_algebra.htm


http://pt.wikipedia.org/wiki/%c3%81lgebra_linear









TRANSFORMAÇÃO LINEAR: UMA VERDADEIRA TRANSFORMAÇÃO POR JOSÉ LEANDRO DE LIMA

AUTARQUIA EDUCACIONAL DE AFOGADOS DA INGAZEIRA – AEDAI
FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE AFOGADOS DA INGAZEIRA – FAFOPAI
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA LINEAR II                          6º P. MATEMÁTICA
PROF.: ELIANA NOGUEIRA
ALUNO: JOSÉ LEANDRO DE LIMA

TRANSFORMAÇÃO LINEAR: UMA VERDADEIRA TRANSFORMAÇÃO

         Hoje muitas vezes estudando matemática, pessoas a vêem como algo pronto e acabado. Mas a matemática é um saber que foi desenvolvido ao longo do tempo. As teorias que hoje vemos prontas para o estudo surgiram de grandes desafios. Por volta dos séculos IX e VIII A.C., a matemática engatinhava na Babilônia. Os babilônios e os egípcios já tinham uma álgebra e uma geometria, mas somente o que bastasse para as suas necessidades práticas, e não de uma ciência organizada. Na Babilônia, a matemática era cultivada entre os escribas responsáveis pelos tesouros reais. Ao longo do tempo a matemática foi ganhando mais adeptos. Os Egípcios e os Gregos, entre outros, deram grandes impulsos ao desenvolvimento da matemática, e assim aos poucos ela foi se tornando como a conhecemos hoje. A matemática hoje conta com várias ramificações: aritmética, álgebra, geometria, etc. Mas, pela grande importância do tema para a graduação, quero me deter na Álgebra, em especial transformações lineares na álgebra linear.
         Álgebra é o ramo que estuda as generalizações dos conceitos e operações de aritmética. Hoje em dia o termo é bastante abrangente e pode se referir as várias áreas da matemática. Teve como pais: Al – Khawarizmi (780-850), François Viète (1540-1603) e Diofante (250-350). Álgebra linear é um ramo da álgebra que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas algébricas ou diferenciais. A álgebra linear se utiliza de alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetoresespaços vetoriais, transformações linearessistemas de equações lineares e matrizes.
         Funções ordinárias tais como a função f definida pela equação f(x) = x2, transformam um número real em outro número real, no caso, no seu quadrado. Por exemplo, o número 2 é transformado em 4, isto é, f(2) = 4. Transformações lineares são funções que transformam vetores em vetores.
         Em geral, se V e W são espaços vetoriais, uma função ou TRANSFORMAÇÃO T de V para W é uma regra que associa a todo vetor x em V um único vetor em W que é denotado por T(x).
         Se x é um vetor em V, então T(x) é chamada a IMAGEM de x sobre a transformação T.
Por exemplo, se T é uma transformação do Â3 para o Â2 definida pela equação:
T(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 + x3)
Então T leva o vetor (1,1,1) no vetor T(1,1,1) = (2,2) e o vetor (3,2,0) no vetor T(3,2,0) = (5,2).
            As transformações lineares são funções onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais, conseqüentemente suas imagens serão espaços ou subespaços vetoriais. Pode também ser chamada de aplicação linear ou mapa linear.
         Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função f de V em W é chamada transformação linear, se:  
i)  f (u+v) = f (u) + f (v) ,
ii) f (αu) = α f (u),      
iii) Assume vetor nulo.
No caso de V = W, f  é chamada operador linear sobre V.
         Sendo assim, fica evidente a importância da Transformação Linear tanto no meio acadêmico, quanto no uso diário de grandes profissionais como: professores de matemática, engenheiros, profissionais da computação, etc.
         Então, estudar Transformação Linear é algo muito proveitoso, para nossa vida acadêmica, e por ela somos motivados a adentrar ao campo da álgebra linear, que particularmente é um dos campos mais belos e significativos da matemática. Podemos observar que transformação linear é um conhecimento que estar além da teoria da faculdade, é algo diretamente ligado ao campo vetorial, e diretamente ligado as necessidades de trabalho do ser humano, como destacado anteriormente.
         Então, acredito que com este pequeno esboço sobre Transformação Linear, podemos ter uma idéia do que ela é, de fato, e de seu envolvimento em nosso meio.

Referências Bibliográficas:

BOLDRINI, C. Álgebra Linear. 3ª ed. Editora Harbra, 1986.
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear

sábado, 11 de dezembro de 2010

Autarquia Educacional de Afogados da Ingazeira AEDAI


Faculdade de Formação de Professores de Afogados da Ingazeira FAFOPAI

Departamento de matemática

Disciplina Álgebra Linear

Professora Eliana Nogueira

ALUNA: MARIA ELCIANE F. LEITE RIBEIRO



TRANSFORMAÇÃO LINEAR: FORMA CONCRETA EM NOSSO COTIDIANO

Sabe-se que o conhecimento é algo incrível e irresistível ao ser humano, produz uma sensação de poder e de mudança de mentalidade essencial ao convívio social. Quando se trata de estudo matemático, podemos utilizar de forma mais concreta em nosso cotidiano,como a parte da álgebra linear,que sabemos trata-se de um ramo, que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas algébricas ou diferenciais. A álgebra linear se utiliza de alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, sistemas de equações lineares e matrizes.

Assim como a cultura e as demais ciências possuem uma origem que enriquecem nossa visão de mundo, não é diferente com a álgebra, que possui um surgimento na antiga Babilônia, onde matemáticos desenvolveram um sistema aritmético avançado, em que puderam desenvolver cálculos algébricos. Com esse sistema eles foram capazes de aplicar fórmulas e calcular soluções para incógnitas, que nos nossos dias seriam resolvidos como equações lineares, quadráticas e indeterminadas.

Iremos nos deter na transformação linear, visto a importância para um melhor desenvolvimento da graduação,assim como a utilização prática no dia-a-dia de vários profissionais como engenheiros, professores de matemática, técnicos em computação, etc. A transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. Vale reforçar que no caso em que o domínio é contraditório coincidem é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homorfismo de espaços vetoriais.

Vejamos esses exemplos de transformações lineares: a função T de K em K definida por T(x)=3x;

a função T de K² em K definida por T(x,y)=x+y;

a função T de K² em K² definida por T(x,y)=(3x+y,2x-2y).

Se D for o espaço das funções derivadas de R em R e se F for o espaço de todas as funções de R em R, então a derivação ( isto é, a função de D em C que envia cada função na sua derivada) é linear.

Algo importante para aqui ser colocado é sobre as aplicações lineares, elas são perfeitamente determinadas conhecendo-se apenas seu valor nos elementos de uma base, ou seja, uma transformação linear é determinada pelas imagens dos vetores de uma base qualquer do domínio.

Sendo assim, podemos reafirmar a significativa relevância do estudo, aprofundamento,análise e interpretação das transformações lineares,tão importantes para áreas do conhecimento que se referem as ciências exatas,bastante uteis para nossa vida prática,pois como fora falado no inicio o conhecimento é algo surpreendente e fascinante, que provoca uma sensação incrível,então torna-se dessa forma, prazerosa e útil.



REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear

http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/alinear/tlinear1.htm