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sexta-feira, 9 de julho de 2010


AUTARQUIA EDUCACIONAL DE AFOGADOS DA INGAZEIRA – AEDAI
FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE AFOGADOS DA INGAZEIRA – FAFOPAI
DEPARTAMENTO: Matemática
ALUNA: Elaine Silva de Sousa
PROFESSORA: Eliana Nogueira
DISCIPLINA: Álgebra Linear

Base e Dimensão

            Ao longo do tempo, muito se falou a respeito destes estudos, desde a Grécia antiga os complexos conceitos de base e dimensão já era discutido nos fundamentos da geometria. Quando se trata de conceito de dimensão temos que ela é o numero mínimo de variáveis necessárias a descrição analítica de um conjunto, também podemos relaciona - lá diretamente ao espaço, espaço esse que pode ser dividido em dois o espaço real e o espaço geométrico, no primeiro é o espaço que vivemos e temos percepções, no segundo o abstrato onde temos experiências demonstrativas. As definições entre base e dimensão estão muito ligadas ao estudo da álgebra linear que se utiliza de alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como espaços vetoriais. Podemos ressaltar que através da geometria analítica foi rompido o conceito da geometria euclidiana que trabalha apenas ate a terceira dimensão, quando a analítica abrange esse conceito nos dando a idéia de que não existem limitações para espaços e dimensões. Através da base percebemos o ponto de partida, as características elementares do espaço vetorial, onde encontramos o ponto de partida para a discussão da equação.
            Após essas conclusões percebemos que existe uma relação muito ampla entre o estudo da base e da dimensão, que é inútil relacionar ao real as dimensões, ressaltando que os elementos podem ser representados pelos pontos do espaço, ou corresponderem com os pontos a n dimensões.

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http://pt.wikipedia.org/wiki/Base_%28matem%C3%A1tica%29

terça-feira, 6 de julho de 2010

FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE AFOGADOS DA INGAZEIRA


CURSO DE MATEMÁTICA 5º PERÍODO

ALUNO: DIEGO KENNEDY DOS REIS

DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR

PROF: ELIANA NOGUEIRA SATURNINO



BASE E DIMENSÃO



Quando falamos de Base e Dimensão devemos ter em consideração outros conceitos básicos de Álgebra linear com os quais a definição de Base e Dimensão estão Inteiramente relacionados, que são os conceitos de EspaçoVetorial, Dependência Linear e Combinação linear . Esses por sua vez ajudam na compreensão de Base e dimensão que expressam vetores em termos de outros vetores e são úteis para a definição de operadores no espaço vetorial.

Voltando um pouco para a parte histórica desses conceitos de como eles surgiram ressaltamos a importância do grandioso matemático Grego Euclides que por volta de 300 a.C estabeleceu as leis e as primeiras noções de espaço que veio a ser chamado de “Geometria Euclidiana”. Euclides desenvolveu a Geometria plana que trata de objetos bidimensionais em uma superfície plana; logo depois desenvolveu a “Geometria sólida” com a qual analisou a Geometria de objetos no espaço tridimensional. Esses “axiomas de Euclides” foram codificados em um espaço matemático abstrato conhecido como Espaço Euclidiano bi e tridimensional podendo ser estendido a qualquer dimensão passando assim a ser chamado de Espaço Euclidiano n-dimensional podendo ser entendido como um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno; tecnicamente esse espaço Euclidiano não exatamente um espaço vetorial, mas mais exatamente um espaço afim em que o espaço vetorial age.

Outras noções de espaço, neste caso espaço vetorial, surgiu Hermann Gunten Grassmann (1809-1877) em 1844 quando publicou a primeira versão da Teoria Linear de Extensão, Neste trabalho GRASSMANN discutil e obteve uma boa parte dos resultados elementares da teoria atual de Espaço vetorial e de Álgebra Linear, conseguindo algo mais próximo de uma formalização Axiomática, mas devido a sua forma de apresentação esses resultados não influenciaram seus contemporâneos sendo a maior parte desses resultados redescobertos pouco mais tarde independentemente de seu trabalho.

Em 1888 com o titulo: “Calcolo Geométrico” Giuseppe Peano (1858-1932), fez uma definição Axiomática na qual ele chamou de Sistema Linear, que foi considerada a primeira definição Axiomática de um Espaço Vetorial. Apesar de serem muito semelhantes as propriedades de Grassmann, os axiomas de Peano contribuíram muito, pois ele descreveu a estrutura usando as propriedades das operações e não as deduziu da definição de operações em coordenadas. Peano percebeu que a abordagem axiomática melhorava a formulação das propriedades de espaço vetorial, pois eliminava a necessidade da convenções e redundâncias existentes nas propriedades de Grassmann. Porem Peano e outros matemáticos Italianos que também estudaram as idéias de Grassmann foram menos precisos em alguns pontos do que ele especialmente nos conceitos de Base e Dimensão. Grassmann definiu o conceito de base como o número máximo de vetores independentes no espaço o que suficiente para provar que n vetores independentes em um espaço de dimensão n constituem um sistema geradores e formam portanto uma Base.

Em 1862 Grassmann tinha feito uma revisão em seu teorema que ele havia deduzido do teorema da mudança de base, teorema muito importante que também pode ser derivado da teoria de eliminação. Isto mostra que Grassmann estava muito a frente do seu tempo em vários aspectos, quanto à questão da dimensão esta foi discutida com mais exatidão na teoria de corpos, pois a extensão do corpo é espaço vetorial sobre o corpo e a ordem da extensão é a dimensão deste espaço.

Em 1853 o matemático Alemão chamado Richard Dedekind (1831-1916) que publicou uma prova de invariância do numero de elementos da base no contexto de extensão de corpos. Logo no inicio do seu trabalho Dedekind deu a definição e as propriedades de que ele chamou de irredutibilidade (o que atualmente é conhecido como independência linear). Assim, ele definiu um espaço Ω como o conjunto das possíveis combinações de um conjunto de n números irredutíveis sobre um corpo A.então ele chamou esses elementos de base se Ω e definiu as coordenadas de um elemento qualquer de Ω , apresentou então três propriedades e provou que elas são características de Ω .Dedekind nesta prova não usou a teoria de equações lineares embora utilizasse a representação com coordenadas.

Outro grande matemático que contribuiu com a definição desses conceitos foi ERNST STEINITZ que publicou em 1910 um trabalho intitulado ALGEBRAISCHE THEORIE DER KORPER que alem de representar um importante avanço na historia de álgebra moderna, também serviu como referencia durante pelo menos quatro séculos, considerado o seu maior trabalho, Steinitz definiu a dependência linear sobre um corpo R e definiu uma extensão finita de ordem N da maneira que se usa ate hoje: seja R um subcorpo de L, diz que L é finito com respeito a R e de ordem N, se houver em L,N elementos linearmente independente sobre R, enquanto qualquer conjunto de mais que N elemento de L são linearmente independentes sobre R.

Para Ernst Steinitz uma base L e um conjunto de elementos tais que elemento de L pode ser representado de maneira única como uma combinação linear deles, ele queria provar que toda base de L possui n elementos e que todo conjunto de n elemento linearmente independentes formam uma base de L a maneira que Steinitz apresentou seus resultados é tão dedutiva que se pode dizer que eles estão próximos da definição moderna do conceito geral de dependência (algébrica ou linear ) de onde de poderia deduzir os conceitos de dimensão e base.

Com relação à base e dimensão um exemplo simples e prático que define um pouco esses conceitos é a democracia que tem como um dos seus objetivos achar certo conjunto de representantes na população, denominada de deputados, de tal maneira que com o parecer deles possam ser definidas as metas e o objetivo de um país sem ter que a cada momento seja consultada a população. Assim também pode ser vista a definição de base, ou seja, a base é um subconjunto do espaço vetorial, cujo qual a partir dele pode ser obtido qualquer elemento desse espaço, sendo assim esse subconjunto chamado de base são os representantes do espaço vetorial, no entanto como os deputados devem ser eleitos para representar o povo, esta base (subconjunto) tem que obrigatoriamente gerar o espaço e ser linearmente independente neste espaço, dessa forma ele assume o papel de base (representante) desse espaço vetorial, ou também podemos definir como o código genético desse espaço vetorial. Assim temos a definição de base: um sistema de n vetores de E se os vetores são linearmente independentes. Em outras palavras a base e conjunto de vetores necessários para gerar o espaço vetorial e ainda acrescentando temos Uma base de um espaço vetorial é o conjunto mínimo de vetores capaz de escrever

qualquer outro vetor do espaço através de uma combinação linear única. Esta unicidade é garantida por uma outra propriedade do conjunto de vetores: a independência linear. ( conjunto de vetores é dito linearmente independente se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos demais).

Quando tratamos de dimensão de um espaço vetorial, temos que dimensão de um espaço vetorial é o maior número de vetores linearmente independente no espaço que pode ser encontrado, ou seja, a dimensão de um espaço é definida pela quantidade pela quantidade de vetores linearmente independentes que podem ser encontrados por meio de sua base (nº. de vetores de sua base). Dizemos então que a dimensão do R3 é 3, do R2 é 2, do Rn é n e do Rnm é nm. Este conceito de dimensão está intimamente ligado ao conceito físico do espaço em que vivemos.

Enfim o objetivo é mostrar que todo espaço vetorial finitamente gerado, existe um subconjunto finito tal que todo elemento desse espaço é combinação linear de uma única maneira desse subconjunto e que todos os outros subconjuntos desse espaço que têm também essa propriedade possuem o mesmo numero de elementos desse subconjunto finito.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS



• http://www.ime.usp.br/pesquisa/atas1/Alexandre%20Pereira%20da%20Silva/ata%20da%20apresentacao.pdf

• http://miltonborba.org/AlgebraLinear/Espacos_Vetoriais.pdf

• http://www.tecgraf.puc-rio.br/~mgattass/cg/pdf/04_GeoAlg.pdf

• http://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_euclidiano

• http://www.poli.usp.br/d/pqi2408/ALGEBRA_LINEAR.pdf

• http://www.mspc.eng.br/test/res_110.shtml

• http://www.ucg.br/ACAD_WEB/professor/SiteDocente/admin/arquivosUpload/4191/material/Algebralinear.pdfht

• www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/espacovetor2.pdf

• http://pt.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_linear/Espa%C3%A7os_vetoriais


COMENTÁRIO: Os dados registrados representam a realidade da aprendizagem, apresentam consequências importantes para a formação, para a organização dos conceitos trabalhados e para a profissionalização do aluno em busca da aprendizagem.

segunda-feira, 5 de julho de 2010

Álgebra Linear II

Autarquia Educacional de Afogados da Ingazeira AEDAI
Faculdade de Formação de Professores de Afogados da Ingazeira – FAFOPAI                    Departamento de Matemática
Professora Eliana Nogueira
Disciplina álgebra linear
Aluna: Fernanda Barbosa Lima
e-mail: fernanda_newgarota@hotmail.com

As Nações de Espaço e Dimensão
        Para desenvolver e entender espaço e dimensão, embora uma das mais intuitivas e antigas da geometria não foi fácil chegar a determinadas conclusões, foi através de muito estudo e dedicação que por volta de 300 A.C, o matemático Euclides estabeleceu as leis do que veio a ser chamado “geometria euclidiana”. Euclides desenvolveu a geometria plana que trata de objetos bidimensionais e a geometria sólida, com que analisar a geometria de objetos tridimensional.
       Todos os axiomas de Euclides foram codificados em um espaço matemático abstrato conhecido como espaço bi ou tridimensional.
       Uma propriedade vital de um espaço euclidiano é sua plenitude. Existem outros espaços  que não são euclidianos, por exemplo, o espaço quadrimensional descrito pela teoria da relatividade quando a gravidade está presente não é euclidiano.
Por volta de 1900 o celebre matemático Henri Poincaré suas idéias serviram de um estudo mais profundo sobre teorias geométricas.
  Definimos espaço euclidiano como um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno.
·         Os  vetores no espaço vetorial correspondem aos pontos do plano euclidiano.
·         A operação da edição no espaço vetorial corresponde a translação e rotação.
·         O produto interno implica nações de ângulo e de distancia, que podem ser usadas para definir a rotação.
              Define-se dimensão como idéia  de caráter topológico que deve colocar uma evidência, isto é, uma definição que utilize nações topológicas.Entender realmente seu conceito de dimensões arbritárias para maior parte o vocabulário, os cálculos e as formulas não são feitas com mais dificuldade pela presença de mais dimensões.
  Entretanto, as rotações são mais úteis em dimensões elevadas, e visualizar espaços e dimensões mais elevadas torna-se difícil, mesmo para matemáticos experientes.

COMENTÁRIO: O objetivo deste trabalho foi detectar a presença de aprendizagens envolvidas no texto com fins de exploração na pesquisa. Esta foi uma pesquisa exploratória para apreender aspectos da dinâmica desse assunto, das características de base e dimensão nela envolvida e do reconhecimento que conduziram a reconhecer esses elementos. O campo da investigação foi realizado onde?

Bibliografia

• Apostila-As noções de espaço e dimensão;
 
• Apostila de Álgebra linear, universidade Federal do Ceará (centro de educação
tutorial). Fortaleza, Fevereiro/2010;