Álgebra Linear II, por José Leandro de Lima

AUTARQUIA EDUCACIONAL DE AFOGADOS DA INGAZEIRA – AEDAI
FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE AFOGADOS DA INGAZEIRA – FAFOPAI
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR II
PROF.ª: ELIANA NOGUEIRA
ALUNO: JOSÉ LEANDRO DE LIMA 
Email: leandrolima27@gmail.com

BASE E DIMENSÃO

          Assim como a própria matemática, a idéia de dimensão não surgiu pronta e acabada, foi fruto de estudos. Há cerca de cinqüenta anos essa teoria já passou a ter algo satisfatório e somente nos últimos tempos um maior grau de perfeição. O tema que já havia sido abordado por Euclides em “Os Elementos”, mas por volta de 1900 foi retomado pelo grande matemático Henri Poincaré. Seus estudos serviram de base para estudos ulteriores, que deram origem a essas teorias geométricas.

          Mas o que é espaço? Espaço pode ser visto de duas maneiras, espaço real, que é o espaço onde vivemos e temos nossas experiências perceptivas; e o espaço geométrico, que é uma criação abstrata e representativa. O espaço real em suma, está intimamente ligado a nossa percepção, experiências, que muitas vezes são enganosas e imprecisas. No espaço real, por exemplo, nada existe comparável a um ponto do espaço geométrico, pois qualquer corpúsculo por menor que seja possui um tamanho. Já no espaço geométrico os objetos têm propriedades exatas que são axiomas ou teoremas; e os seus objetos não se identificam com os inexatos da realidade, são abstratos e possuem apenas as propriedades que lhe foram atribuídas através dos axiomas e teoremas. É bem verdade que o espaço geométrico pode ser representativo do real, inspirado nele pode representá-lo de modo grosseiro, mas pode ultrapassar tudo o que o real pode oferecer. É possível ainda criar outras geometrias, escolhendo como base da construção lógica, outros axiomas um tanto diferentes. A mais simples é a Euclidiana que é bidimensional, capaz de representar um mundo completamente plano, por ter apenas dois eixos. Mas em casos mais complexos (como por exemplo, da astronomia), somos forçados a fugir do mundo plano e escolher outra geometria, em outra dimensão, como por exemplo, a Geometria Riemanniana. Mas a que nos apegamos em dizer que o espaço real pode ser representado por três dimensões? Vejamos que todo ponto do espaço geométrico pode ser caracterizado por três números reais, chamados de coordenadas, analogamente podemos fixar um número para um ponto de uma reta e um ponto do plano por dois números. As três coordenadas de um ponto A do espaço são, por exemplo, as três distâncias de A, a três planos perpendiculares, dois a dois. Fazendo variar esses três números, independentemente uns dos outros, podemos localizar todos os pontos do espaço. E a partir daí a geometria analítica se encarrega de trabalhar todas as propriedades. Então escolhemos o espaço a três dimensões para representar nosso espaço, tendo em vista que ele representa-o muito bem.
          No espaço geométrico existem ainda outras geometrias que dão suporte ao estudo de determinados objetos. Como destacamos a geometria tridimensional (a três dimensões), podemos estudar objetos no espaço, conhecendo todos os seus pontos. Da mesma forma existem geometrias capazes de representar objetos a quatro, cinco, seis, e a n dimensões. Um ponto desse espaço a n dimensões é conjunto ordenado de n números reais, e obtém-se o espaço todo fazendo variar esses números independentemente. Nesse espaço pode-se construir a geometria analítica a n dimensões, e a distância de dois pontos é calculada a partir das coordenadas, com o auxílio de uma fórmula análoga à utilizada para três dimensões.
          Poderá surgir a pergunta, se o espaço a, quatro, cinco, seis, ou a n dimensões existe, mas é inútil essa pergunta, porque os espaços são apenas construções lógicas e que não pretendem dar informações da realidade.
          Em suma, nós pensamos numa reta como sendo unidimensional, num plano como sendo bidimensional e no espaço a nossa volta como tridimensional. E como já destacado, a geometria analítica trabalha com qualquer dimensão. E objetos na quarta, quinta ou na n-dimensão, é bobagem nós querermos associá-los ao real, pois as dimensões são apenas construções lógicas, e não representações do real, ainda que a terceira dimensão possa representá-lo.

Referências

• http://books.google.com.br/books?hl=pt-BR&lr=&id=pOaaSKP9IcMC&oi=fnd&pg=PA19&dq=base+e+dimensão&ots=LI4ADpmZ9E&sig=sjIaGQa2-cG_DdD4rx29Y5rzQ6k#v=onepage&q=base%20e%20dimens%C3%A3o&f=false
• Apostila cedida pela professora Eliana Nogueira (a mesma não tem sua referência)
• Apostila da UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ:
http://www.4shared.com/file/DunyBvls/Apostila_de_Algebra_Linear.