FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE
AFOGADOS DA INGAZEIRA
DEPARTAMENTO DE MATERMATICA VI – PERÍODO
DISCIPLINA : ALGEBRA LINEAR
PROF: ELIANA NOGUEIRA SATURNINO
ALUNO: DIEGO KENNEDY DOS REIS
TRASFORMAÇÃO LINEAR – UMA FUNÇÃO ESPECIAL DA ALGEBRA LINEAR.
Este artigo tem a finalidade de mostrar o conceito de Transformação linear de uma forma mais simples e de informar leitores sobre aspectos não conhecidos ainda do ramo da matemática que trabalha com essa função toda especial ( Transformação linear ) que é a ÁLGEBRA em especial a ÁLGEBRA LINEAR. Cumprindo assim as exigências da cadeira de álgebra linear do curso de licenciatura plena em matemática da Faculdade de Formação de Professores de Afogados da Ingazeira – FAFOPAI – por meio da professora Eliana Nogueira Saturnino.
Antes de falar de transformação linear, falarei um pouco da historia da álgebra. Como pouco se conhece há relatos de que a álgebra surgiu na antiga Babilônia, onde matemáticos realizavam cálculos algébricos por meio de um sistema aritmético desenvolvido por eles que os permitiam calcular soluções de problemas algébricos que sendo hoje seriam resolvidos por meio de equações lineares, quadráticas e indeterminadas. Já com outros matemáticos antigos como descrito no primeiro milênio a.C seriam resolvidos utilizando métodos geométricos, ou seja, a GEOMETRIA que por sinal é uma das ciências mais antigas e que deu origem a matemática hoje utilizada por nós.
O nome ALGEBRA hoje é utilizado e associado apenas na matemática, mas anteriormente teve vários outros significados por exemplo na Espanha depois de ter sido levado pelos mouros, o termo algebrista era associado a alguém que consertava ossos quebrados. Passando assim por muitas traduções e modificações para se chegar ao temo que utilizamos hoje. Data-se a origem do temo álgebra por volta de 800 d.C por um matemático nascido na pérsia chamado AL – Khwarizma que é considerado o fundador da álgebra como a conhecemos hoje.
Muitos métodos e ferramentas da álgebra, neste caso da álgebra linear são muito antigos como a exemplo do método de Eliminação Gaussiana que relata-se que foi citado por volta do século II d.C. Esse método recebe esse nome por ter sido desenvolvido por CARL FRIEDRICH GAUSS um matemático, astrônomo e físico que viveu na cidade de Brunswick na Alemanha e em 1799, defende na Universidade de Helmstadt, a sua tese de doutoramento, onde fornece uma primeira demonstração satisfatória do teorema fundamental da álgebra. Os seus trabalhos sobre a teoria dos números são testemunhos de uma concepção resolutamente moderna da natureza abstrata da matemática. Contribuindo assim muito para a álgebra e a matemática contemporânea.
Segundo DIEUDONNÉ ( 1981: P1 ) foi em Gauss, isto é por meio dele que o conceito de transformação linear ( a representação de uma variáveis como combinação de outras variáveis) tornou - se conhecidas entre os matemáticos da época apenas a partir do século XVIII depois de ter publicado em seu livro: Disquisitiones generales cerca superfícies curvas (1827) escrito em latim. Essa técnica teve na pessoa de GAUSS seu maior divulgador, mas os primeiros escritos com a notações abreviadas para transformação linear tornaram-se públicos bem antes em 1801 em seu outro livro: Disquisitiones Arithmeticae, tomando uma função do tipo:
f (x, y, z)= ax2 + a'y2 + a"z2 + 2bxy + 2b'xz + 2b"yz
Com coeficientes inteiros. Ele aplica então uma substituição S
x = a1 x’ + b1y’ + c1z’
y = a2 x’ + b2y’ + c2z’
z = a3 x’ + b3y’ + c3z’
Também com coeficientes inteiros. Então, para ser mais direto, Gauss ignora as variáveis e diz que f é transformada em f’ e esta em f”, respectivamente, pelas substituições:
a1 b1 c1 d1 e1 f1
a2 b2 c2 e d2 e2 f2
a3 b3 c3 d3 e3 f3
.
Gauss conclui em seguida que f é transformada em f” pela substituição:
a1 d1 + b1d2 +c1d3 a1e1 + b1e2 +c1e3 a1d1 + b1d2 +c1d3
a2 d1 + b2d2 +c2d3 a2e1 + b2e2 +c2e3 a2d1 + b2d2 +c2d3
a3 d1 + b3d2 +c3d3 a3e1 + b3e2 +c3e3 a3d1 + b3d2 +c3d3
BASHMAKOVA (2000: p.152) nota que foi com base nessa regra que, em 1812, Cauchy apresentou seu teorema sobre multiplicação de determinantes.
Se tratando de transformação linear, para leitores que de primeira mão ainda não sabe do que se trata, para facilitar o entendimento do que é transformação linear vamos recorrer um pouco a matemática fundamental nos utilizando o conceito de função que costumeiramente estamos acostumados com funções ordinárias do tipo: f(x) = x2. Essa função transforma um número real em outro número real, no caso, no seu quadrado. Por exemplo, o número 2 é transformado em 4, isto é, f(2) = 4. Podemos ver também a transformações lineares como tipos especiais de funções da álgebra linear que transformam vetores em vetores. Podemos dizer também que a transformação linear é tipo de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar, podendo ser chamada também de Aplicação linear ou mapa linear nos casos em que o domínio e contradomínio coincidem. É usada a expressão Operador Linear.
Em geral, se V e W são espaços vetoriais, uma função ou TRANSFORMAÇÃO T de V para W é uma regra que associa a todo vetor x em V um único vetor em W que é denotado por T(x).
Se x é um vetor em V, então T(x) é chamada a IMAGEM de x sobre a transformação T.
Por exemplo, se T é uma transformação do Â3 para o Â2 definida pela equação:
T(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 + x3)
Então T leva o vetor (1,1,1) no vetor T(1,1,1) = (2,2) e o vetor (3,2,0) no vetor T(3,2,0) = (5,2).
Temos então a definição de transformação linear como:
Sendo V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação (ou aplicação) T: V ® W é chamada de LINEAR se para todos os vetores x e y em V e para todo escalar a,
· T(x + y) = T(x) + T(y)
· T(ax) = a T(x)
Escrevendo T: V® W para indicar que T aplica vetores do espaço vetorial V em vetores do espaço vetorial W. Isto é, T é uma função com domínio V, contra domínio W e cuja imagem é um subconjunto de W; lendo assim T(v) como "T de v", de modo parecido a maneira que lemos f (x), que é lida "f de x". Mas toda transformações lineares de R em R são as funções da forma f (x) = mx onde m é um número real qualquer. Ou seja, dentre todas as funções cujos gráficos são retas, as lineares são, somente, aquelas que passam pela origem. Assim em uma função do tipo f (x) = mx + b só será linear se somente se b= 0. o que nos leva a entender que o nome transformação linear tenha vindo deste caso, U= R.
Vimos então que a álgebra passou por um longo processo para se chegar ao que estudamos hoje, assim também como as diversas ramificações da matemática. Por fim vimos que a transformação linear ocorre com freqüência na álgebra linear, mas é importante salientar que ela também está presente em outros campos da matemática alem de ser muito importante numa vasta gama de aplicações.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
JEFERSON, Tailson, Faculdade de Tecnologia e Ciência – FTC –Ead.
NELSON, Robinson dos santos, Uma breve história do desenvolvimento das teorias dos determinantes e das matrizes, São Paulo 2007.
vcs são uns ferinhas em cara!!
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