AUTARQUIA EDUCACIONAL DE AFOGADOS DA INGAZEIRA
FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES AFOGADOS DA INGAZEIRA
PROFESSORA: ELIANA NOGUEIRA
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR
ALUNA: ROSA MESSIAS PEREIRA DA SILVA
6º PERÍODO DE MATEMÁTICA.
HISTÓRIA DA ÁLGEBRA LINEAR BUSCANDO DEFINIÇÕES PARA TRANSFORMAÇÕES LINEARES.
Entendemos que a história é uma das etapas do processo de ensino e aprendizagem e, como tal, poderá, entre outros aspectos, fornecer informações que favorecerão o aperfeiçoamento desse processo. Permanecendo dentro do contexto da matemática, a constatação da sua importância apóia- se no fato de que a matemática desempenha papel decisivo, pois permite resolver problemas da vida cotidiana, tem muitas aplicações no mundo do trabalho e funciona como instrumento essencial para a construção de conhecimentos em outras áreas curriculares. Do mesmo modo, interfere fortemente na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento e na agilização do raciocínio dedutivo do aluno.
O objetivo deste artigo é destacar algumas ideais básicas da historia da Álgebra Linear e sobre a definição de Transformação Linear, e trazer algumas reflexões sobre a mesma.
Para chegar à transformação linear um longo caminho foi percorrido sobre a origem da álgebra onde se encontra na antiga Babilônia, cujos matemáticos desenvolveram um sistema aritmético avançado, com o qual puderam fazer cálculos algébricos. Com esse sistema eles foram capazes de aplicar fórmulas e calcular soluções para incógnitas para uma classe de problemas que, hoje, seriam resolvidos como equações lineares, equações quadráticas e equações indeterminadas. Por outro lado, a maioria dos matemáticos egípcios desta era e a maioria dos matemáticos indianos, gregos e chineses do primeiro milênio a.C. normalmente resolvia estas equações por métodos geométricos, como descrito no papiro Rhind, Sulba Sutras, elementos de Euclides e os Nove capítulos da arte matemática. Os estudos geométricos dos gregos, consolidado nos elementos, deram a base para a generalização de formulas, indo além da solução de problemas particulares para sistemas gerais para especificar e resolver equações. No entanto, na história da álgebra linear moderna data do 1840s adiantado. Em 1843, Rowan Hamilton de William introduzido Quaternions, que descrevem mecânicos no espaço tridimensional. Em 1844, Hermann Grassmann publicou seu livro Lineale a Ausdehnungslehre do dado (veja referências). Arthur Cayley introduzido matrizes, uma das idéias algébricas lineares as mais fundamentais, em 1857. Apesar destes desenvolvimentos adiantados, álgebra linear foi tornado primeiramente no vigésimo século. Era foco de uma das primeiras sociedades matemáticas internacionais, sociedade de Quaternion (1899 – 1913), que apontou sistemas aliados da matemática.
Portanto, chegamos às transformações lineares funções onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais, isto é, tanto a variável independente como a variáveis dependentes são vetores. Este tipo de funções possui uma propriedade importante que é preservar a adição de vetores e a multiplicação de vetor por escalar.
Neste artigo apresentamos algumas definições sobre transformação lineares. Além da definição usual, apresentamos outras duas definições alternativas de transformação linear. Definimos e exemplificamos expansão e contração uniforme que também são aplicações lineares. As transformações lineares são de fundamental importância nos estudos de Álgebra, Álgebra Linear (Álgebra de Matrizes), Cálculo, Equações Diferenciais, Análise, Geometria Diferencial e muitos outros. Transformações lineares são usadas para descrever vários tipos de mudanças geométricas, como: rotação, homotetia, cisalhamento, reflexão, além de outras deformações no plano ou no espaço. Vejamos aqui algumas definições:
Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Diz-se que F:V W é uma aplicação linear se satisfaz às duas propriedades seguintes:
- Para quaisquer u,v
- Para qualquer k
Definição alternativa 1: Sejam V e W espaços vetoriais. F:V W é uma aplicação linear se, para quaisquer u,v U e quaisquer a,b R se tem que
F(au+bv) = aF(u) + bF(v)
Definição alternativa 2: Sejam V e W espaços vetoriais. F: V W é uma aplicação linear se, para quaisquer u, v U e qualquer b R se tem que
F(u+bv) = F(u) + bF(v)
Graficamente temos algo como:
Observações importantes:
- Uma aplicação linear também recebe o nome de Transformação linear.
- Na literatura mais recente sobre Álgebra Linear, quando V=W, a aplicação F recebe o nome de operador linear e quando W=R, recebe o nome de funcional linear.
- Se F: V
- Para provar que uma aplicação é linear, devemos demonstrar que valem as duas propriedades descritas na definição, mas para mostrar que uma transformação não é linear, basta exibir a propriedade que não é satisfeita.
Em matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a operação operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.
Pode se concluir que as indagações aqui relatadas é um instrumento que pretende estimular a busca coletiva de soluções para o ensino dessa área. Soluções que precisam transformar-se em ações cotidianas que efetivamente tornem o ensino da matemática acessível a todos, tendo a certeza que essas definições de transformação linear apresentam aplicações na física, engenharia, ciências social e em vários ramos da matemática. Enfim para que se tirem proveito desses conhecimentos, e instigue a desenvolver outros conceitos a partir do que já possui, construindo assim um conceito formado e utilizá-los em seu beneficio para futuras situações que surgirem tanto em seu dia-a-dia como também no seu próprio meio acadêmico.
Bibliografia.
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