FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE AFOGADOS DA INGAZEIRA


CURSO DE MATEMÁTICA 5º PERÍODO

ALUNO: DIEGO KENNEDY DOS REIS

DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR

PROF: ELIANA NOGUEIRA SATURNINO



BASE E DIMENSÃO

Quando falamos de Base e Dimensão devemos ter em consideração outros conceitos básicos de Álgebra linear com os quais a definição de Base e Dimensão estão Inteiramente relacionados, que são os conceitos de EspaçoVetorial, Dependência Linear e Combinação linear . Esses por sua vez ajudam na compreensão de Base e dimensão que expressam vetores em termos de outros vetores e são úteis para a definição de operadores no espaço vetorial.

Voltando um pouco para a parte histórica desses conceitos de como eles surgiram ressaltamos a importância do grandioso matemático Grego Euclides que por volta de 300 a.C estabeleceu as leis e as primeiras noções de espaço que veio a ser chamado de “Geometria Euclidiana”. Euclides desenvolveu a Geometria plana que trata de objetos bidimensionais em uma superfície plana; logo depois desenvolveu a “Geometria sólida” com a qual analisou a Geometria de objetos no espaço tridimensional. Esses “axiomas de Euclides” foram codificados em um espaço matemático abstrato conhecido como Espaço Euclidiano bi e tridimensional podendo ser estendido a qualquer dimensão passando assim a ser chamado de Espaço Euclidiano n-dimensional podendo ser entendido como um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno; tecnicamente esse espaço Euclidiano não exatamente um espaço vetorial, mas mais exatamente um espaço afim em que o espaço vetorial age.

Outras noções de espaço, neste caso espaço vetorial, surgiu Hermann Gunten Grassmann (1809-1877) em 1844 quando publicou a primeira versão da Teoria Linear de Extensão, Neste trabalho GRASSMANN discutil e obteve uma boa parte dos resultados elementares da teoria atual de Espaço vetorial e de Álgebra Linear, conseguindo algo mais próximo de uma formalização Axiomática, mas devido a sua forma de apresentação esses resultados não influenciaram seus contemporâneos sendo a maior parte desses resultados redescobertos pouco mais tarde independentemente de seu trabalho.

Em 1888 com o titulo: “Calcolo Geométrico” Giuseppe Peano (1858-1932), fez uma definição Axiomática na qual ele chamou de Sistema Linear, que foi considerada a primeira definição Axiomática de um Espaço Vetorial. Apesar de serem muito semelhantes as propriedades de Grassmann, os axiomas de Peano contribuíram muito, pois ele descreveu a estrutura usando as propriedades das operações e não as deduziu da definição de operações em coordenadas. Peano percebeu que a abordagem axiomática melhorava a formulação das propriedades de espaço vetorial, pois eliminava a necessidade da convenções e redundâncias existentes nas propriedades de Grassmann. Porem Peano e outros matemáticos Italianos que também estudaram as idéias de Grassmann foram menos precisos em alguns pontos do que ele especialmente nos conceitos de Base e Dimensão. Grassmann definiu o conceito de base como o número máximo de vetores independentes no espaço o que suficiente para provar que n vetores independentes em um espaço de dimensão n constituem um sistema geradores e formam portanto uma Base.

Em 1862 Grassmann tinha feito uma revisão em seu teorema que ele havia deduzido do teorema da mudança de base, teorema muito importante que também pode ser derivado da teoria de eliminação. Isto mostra que Grassmann estava muito a frente do seu tempo em vários aspectos, quanto à questão da dimensão esta foi discutida com mais exatidão na teoria de corpos, pois a extensão do corpo é espaço vetorial sobre o corpo e a ordem da extensão é a dimensão deste espaço.

Em 1853 o matemático Alemão chamado Richard Dedekind (1831-1916) que publicou uma prova de invariância do numero de elementos da base no contexto de extensão de corpos. Logo no inicio do seu trabalho Dedekind deu a definição e as propriedades de que ele chamou de irredutibilidade (o que atualmente é conhecido como independência linear). Assim, ele definiu um espaço Ω como o conjunto das possíveis combinações de um conjunto de n números irredutíveis sobre um corpo A.então ele chamou esses elementos de base se Ω e definiu as coordenadas de um elemento qualquer de Ω , apresentou então três propriedades e provou que elas são características de Ω .Dedekind nesta prova não usou a teoria de equações lineares embora utilizasse a representação com coordenadas.

Outro grande matemático que contribuiu com a definição desses conceitos foi ERNST STEINITZ que publicou em 1910 um trabalho intitulado ALGEBRAISCHE THEORIE DER KORPER que alem de representar um importante avanço na historia de álgebra moderna, também serviu como referencia durante pelo menos quatro séculos, considerado o seu maior trabalho, Steinitz definiu a dependência linear sobre um corpo R e definiu uma extensão finita de ordem N da maneira que se usa ate hoje: seja R um subcorpo de L, diz que L é finito com respeito a R e de ordem N, se houver em L,N elementos linearmente independente sobre R, enquanto qualquer conjunto de mais que N elemento de L são linearmente independentes sobre R.

Para Ernst Steinitz uma base L e um conjunto de elementos tais que elemento de L pode ser representado de maneira única como uma combinação linear deles, ele queria provar que toda base de L possui n elementos e que todo conjunto de n elemento linearmente independentes formam uma base de L a maneira que Steinitz apresentou seus resultados é tão dedutiva que se pode dizer que eles estão próximos da definição moderna do conceito geral de dependência (algébrica ou linear ) de onde de poderia deduzir os conceitos de dimensão e base.

Com relação à base e dimensão um exemplo simples e prático que define um pouco esses conceitos é a democracia que tem como um dos seus objetivos achar certo conjunto de representantes na população, denominada de deputados, de tal maneira que com o parecer deles possam ser definidas as metas e o objetivo de um país sem ter que a cada momento seja consultada a população. Assim também pode ser vista a definição de base, ou seja, a base é um subconjunto do espaço vetorial, cujo qual a partir dele pode ser obtido qualquer elemento desse espaço, sendo assim esse subconjunto chamado de base são os representantes do espaço vetorial, no entanto como os deputados devem ser eleitos para representar o povo, esta base (subconjunto) tem que obrigatoriamente gerar o espaço e ser linearmente independente neste espaço, dessa forma ele assume o papel de base (representante) desse espaço vetorial, ou também podemos definir como o código genético desse espaço vetorial. Assim temos a definição de base: um sistema de n vetores de E se os vetores são linearmente independentes. Em outras palavras a base e conjunto de vetores necessários para gerar o espaço vetorial e ainda acrescentando temos Uma base de um espaço vetorial é o conjunto mínimo de vetores capaz de escrever

qualquer outro vetor do espaço através de uma combinação linear única. Esta unicidade é garantida por uma outra propriedade do conjunto de vetores: a independência linear. ( conjunto de vetores é dito linearmente independente se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos demais).

Quando tratamos de dimensão de um espaço vetorial, temos que dimensão de um espaço vetorial é o maior número de vetores linearmente independente no espaço que pode ser encontrado, ou seja, a dimensão de um espaço é definida pela quantidade pela quantidade de vetores linearmente independentes que podem ser encontrados por meio de sua base (nº. de vetores de sua base). Dizemos então que a dimensão do R3 é 3, do R2 é 2, do Rn é n e do Rnm é nm. Este conceito de dimensão está intimamente ligado ao conceito físico do espaço em que vivemos.

Enfim o objetivo é mostrar que todo espaço vetorial finitamente gerado, existe um subconjunto finito tal que todo elemento desse espaço é combinação linear de uma única maneira desse subconjunto e que todos os outros subconjuntos desse espaço que têm também essa propriedade possuem o mesmo numero de elementos desse subconjunto finito.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS



• http://www.ime.usp.br/pesquisa/atas1/Alexandre%20Pereira%20da%20Silva/ata%20da%20apresentacao.pdf

• http://miltonborba.org/AlgebraLinear/Espacos_Vetoriais.pdf

• http://www.tecgraf.puc-rio.br/~mgattass/cg/pdf/04_GeoAlg.pdf

• http://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_euclidiano

• http://www.poli.usp.br/d/pqi2408/ALGEBRA_LINEAR.pdf

• http://www.mspc.eng.br/test/res_110.shtml

• http://www.ucg.br/ACAD_WEB/professor/SiteDocente/admin/arquivosUpload/4191/material/Algebralinear.pdfht

• www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/espacovetor2.pdf

• http://pt.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_linear/Espa%C3%A7os_vetoriais

COMENTÁRIO: Os dados registrados representam a realidade da aprendizagem, apresentam consequências importantes para a formação, para a organização dos conceitos trabalhados e para a profissionalização do aluno em busca da aprendizagem.