DERIVADAS

VÍDEOS MUITO BONS SOBRE AS DERIVADAS DE   ln x  E e^x


http://www.youtube.com/watch?v=UoRszU3-IKY

http://www.youtube.com/watch?v=ijvgbTBA8jA&feature=related

AUTARQUIA EDUCACIONAL DE AFOGADOS DA INGAZEIRA – AEDAI

FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE AFOGADOS DA INGAZEIRA – FAFOPAI

DEPARTAMENTO: Matemática

ALUNA: Elaine Silva de Sousa

PROFESSORA: Eliana Nogueira

DISCIPLINA: Álgebra Linear

E-MAIL: eu_sopara_vc@hotmail.com

Base e Dimensão

            Ao longo do tempo, muito se falou a respeito destes estudos, desde a Grécia antiga os complexos conceitos de base e dimensão já era discutido nos fundamentos da geometria. Quando se trata de conceito de dimensão temos que ela é o numero mínimo de variáveis necessárias a descrição analítica de um conjunto, também podemos relaciona - lá diretamente ao espaço, espaço esse que pode ser dividido em dois o espaço real e o espaço geométrico, no primeiro é o espaço que vivemos e temos percepções, no segundo o abstrato onde temos experiências demonstrativas. As definições entre base e dimensão estão muito ligadas ao estudo da álgebra linear que se utiliza de alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como espaços vetoriais. Podemos ressaltar que através da geometria analítica foi rompido o conceito da geometria euclidiana que trabalha apenas ate a terceira dimensão, quando a analítica abrange esse conceito nos dando a idéia de que não existem limitações para espaços e dimensões. Através da base percebemos o ponto de partida, as características elementares do espaço vetorial, onde encontramos o ponto de partida para a discussão da equação.

            Após essas conclusões percebemos que existe uma relação muito ampla entre o estudo da base e da dimensão, que é inútil relacionar ao real as dimensões, ressaltando que os elementos podem ser representados pelos pontos do espaço, ou corresponderem com os pontos a n dimensões.

.

           

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://www.somatematica.com.br/geometria.php

http://pt.wikipedia.org/wiki/Base_%28matem%C3%A1tica%29

http://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial

FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE AFOGADOS DA INGAZEIRA


CURSO DE MATEMÁTICA 5º PERÍODO

ALUNO: DIEGO KENNEDY DOS REIS

DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR

PROF: ELIANA NOGUEIRA SATURNINO



BASE E DIMENSÃO

Quando falamos de Base e Dimensão devemos ter em consideração outros conceitos básicos de Álgebra linear com os quais a definição de Base e Dimensão estão Inteiramente relacionados, que são os conceitos de EspaçoVetorial, Dependência Linear e Combinação linear . Esses por sua vez ajudam na compreensão de Base e dimensão que expressam vetores em termos de outros vetores e são úteis para a definição de operadores no espaço vetorial.

Voltando um pouco para a parte histórica desses conceitos de como eles surgiram ressaltamos a importância do grandioso matemático Grego Euclides que por volta de 300 a.C estabeleceu as leis e as primeiras noções de espaço que veio a ser chamado de “Geometria Euclidiana”. Euclides desenvolveu a Geometria plana que trata de objetos bidimensionais em uma superfície plana; logo depois desenvolveu a “Geometria sólida” com a qual analisou a Geometria de objetos no espaço tridimensional. Esses “axiomas de Euclides” foram codificados em um espaço matemático abstrato conhecido como Espaço Euclidiano bi e tridimensional podendo ser estendido a qualquer dimensão passando assim a ser chamado de Espaço Euclidiano n-dimensional podendo ser entendido como um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno; tecnicamente esse espaço Euclidiano não exatamente um espaço vetorial, mas mais exatamente um espaço afim em que o espaço vetorial age.

Outras noções de espaço, neste caso espaço vetorial, surgiu Hermann Gunten Grassmann (1809-1877) em 1844 quando publicou a primeira versão da Teoria Linear de Extensão, Neste trabalho GRASSMANN discutil e obteve uma boa parte dos resultados elementares da teoria atual de Espaço vetorial e de Álgebra Linear, conseguindo algo mais próximo de uma formalização Axiomática, mas devido a sua forma de apresentação esses resultados não influenciaram seus contemporâneos sendo a maior parte desses resultados redescobertos pouco mais tarde independentemente de seu trabalho.

Em 1888 com o titulo: “Calcolo Geométrico” Giuseppe Peano (1858-1932), fez uma definição Axiomática na qual ele chamou de Sistema Linear, que foi considerada a primeira definição Axiomática de um Espaço Vetorial. Apesar de serem muito semelhantes as propriedades de Grassmann, os axiomas de Peano contribuíram muito, pois ele descreveu a estrutura usando as propriedades das operações e não as deduziu da definição de operações em coordenadas. Peano percebeu que a abordagem axiomática melhorava a formulação das propriedades de espaço vetorial, pois eliminava a necessidade da convenções e redundâncias existentes nas propriedades de Grassmann. Porem Peano e outros matemáticos Italianos que também estudaram as idéias de Grassmann foram menos precisos em alguns pontos do que ele especialmente nos conceitos de Base e Dimensão. Grassmann definiu o conceito de base como o número máximo de vetores independentes no espaço o que suficiente para provar que n vetores independentes em um espaço de dimensão n constituem um sistema geradores e formam portanto uma Base.

Em 1862 Grassmann tinha feito uma revisão em seu teorema que ele havia deduzido do teorema da mudança de base, teorema muito importante que também pode ser derivado da teoria de eliminação. Isto mostra que Grassmann estava muito a frente do seu tempo em vários aspectos, quanto à questão da dimensão esta foi discutida com mais exatidão na teoria de corpos, pois a extensão do corpo é espaço vetorial sobre o corpo e a ordem da extensão é a dimensão deste espaço.

Em 1853 o matemático Alemão chamado Richard Dedekind (1831-1916) que publicou uma prova de invariância do numero de elementos da base no contexto de extensão de corpos. Logo no inicio do seu trabalho Dedekind deu a definição e as propriedades de que ele chamou de irredutibilidade (o que atualmente é conhecido como independência linear). Assim, ele definiu um espaço Ω como o conjunto das possíveis combinações de um conjunto de n números irredutíveis sobre um corpo A.então ele chamou esses elementos de base se Ω e definiu as coordenadas de um elemento qualquer de Ω , apresentou então três propriedades e provou que elas são características de Ω .Dedekind nesta prova não usou a teoria de equações lineares embora utilizasse a representação com coordenadas.

Outro grande matemático que contribuiu com a definição desses conceitos foi ERNST STEINITZ que publicou em 1910 um trabalho intitulado ALGEBRAISCHE THEORIE DER KORPER que alem de representar um importante avanço na historia de álgebra moderna, também serviu como referencia durante pelo menos quatro séculos, considerado o seu maior trabalho, Steinitz definiu a dependência linear sobre um corpo R e definiu uma extensão finita de ordem N da maneira que se usa ate hoje: seja R um subcorpo de L, diz que L é finito com respeito a R e de ordem N, se houver em L,N elementos linearmente independente sobre R, enquanto qualquer conjunto de mais que N elemento de L são linearmente independentes sobre R.

Para Ernst Steinitz uma base L e um conjunto de elementos tais que elemento de L pode ser representado de maneira única como uma combinação linear deles, ele queria provar que toda base de L possui n elementos e que todo conjunto de n elemento linearmente independentes formam uma base de L a maneira que Steinitz apresentou seus resultados é tão dedutiva que se pode dizer que eles estão próximos da definição moderna do conceito geral de dependência (algébrica ou linear ) de onde de poderia deduzir os conceitos de dimensão e base.

Com relação à base e dimensão um exemplo simples e prático que define um pouco esses conceitos é a democracia que tem como um dos seus objetivos achar certo conjunto de representantes na população, denominada de deputados, de tal maneira que com o parecer deles possam ser definidas as metas e o objetivo de um país sem ter que a cada momento seja consultada a população. Assim também pode ser vista a definição de base, ou seja, a base é um subconjunto do espaço vetorial, cujo qual a partir dele pode ser obtido qualquer elemento desse espaço, sendo assim esse subconjunto chamado de base são os representantes do espaço vetorial, no entanto como os deputados devem ser eleitos para representar o povo, esta base (subconjunto) tem que obrigatoriamente gerar o espaço e ser linearmente independente neste espaço, dessa forma ele assume o papel de base (representante) desse espaço vetorial, ou também podemos definir como o código genético desse espaço vetorial. Assim temos a definição de base: um sistema de n vetores de E se os vetores são linearmente independentes. Em outras palavras a base e conjunto de vetores necessários para gerar o espaço vetorial e ainda acrescentando temos Uma base de um espaço vetorial é o conjunto mínimo de vetores capaz de escrever

qualquer outro vetor do espaço através de uma combinação linear única. Esta unicidade é garantida por uma outra propriedade do conjunto de vetores: a independência linear. ( conjunto de vetores é dito linearmente independente se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos demais).

Quando tratamos de dimensão de um espaço vetorial, temos que dimensão de um espaço vetorial é o maior número de vetores linearmente independente no espaço que pode ser encontrado, ou seja, a dimensão de um espaço é definida pela quantidade pela quantidade de vetores linearmente independentes que podem ser encontrados por meio de sua base (nº. de vetores de sua base). Dizemos então que a dimensão do R3 é 3, do R2 é 2, do Rn é n e do Rnm é nm. Este conceito de dimensão está intimamente ligado ao conceito físico do espaço em que vivemos.

Enfim o objetivo é mostrar que todo espaço vetorial finitamente gerado, existe um subconjunto finito tal que todo elemento desse espaço é combinação linear de uma única maneira desse subconjunto e que todos os outros subconjuntos desse espaço que têm também essa propriedade possuem o mesmo numero de elementos desse subconjunto finito.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS



• http://www.ime.usp.br/pesquisa/atas1/Alexandre%20Pereira%20da%20Silva/ata%20da%20apresentacao.pdf

• http://miltonborba.org/AlgebraLinear/Espacos_Vetoriais.pdf

• http://www.tecgraf.puc-rio.br/~mgattass/cg/pdf/04_GeoAlg.pdf

• http://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_euclidiano

• http://www.poli.usp.br/d/pqi2408/ALGEBRA_LINEAR.pdf

• http://www.mspc.eng.br/test/res_110.shtml

• http://www.ucg.br/ACAD_WEB/professor/SiteDocente/admin/arquivosUpload/4191/material/Algebralinear.pdfht

• www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/espacovetor2.pdf

• http://pt.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_linear/Espa%C3%A7os_vetoriais

COMENTÁRIO: Os dados registrados representam a realidade da aprendizagem, apresentam consequências importantes para a formação, para a organização dos conceitos trabalhados e para a profissionalização do aluno em busca da aprendizagem.

Álgebra Linear II

Autarquia Educacional de Afogados da Ingazeira AEDAI

Faculdade de Formação de Professores de Afogados da Ingazeira – FAFOPAI                    Departamento de Matemática

Professora Eliana Nogueira

Disciplina álgebra linear

Aluna: Fernanda Barbosa Lima

e-mail: fernanda_newgarota@hotmail.com

As Nações de Espaço e Dimensão

        Para desenvolver e entender espaço e dimensão, embora uma das mais intuitivas e antigas da geometria não foi fácil chegar a determinadas conclusões, foi através de muito estudo e dedicação que por volta de 300 A.C, o matemático Euclides estabeleceu as leis do que veio a ser chamado “geometria euclidiana”. Euclides desenvolveu a geometria plana que trata de objetos bidimensionais e a geometria sólida, com que analisar a geometria de objetos tridimensional.

       Todos os axiomas de Euclides foram codificados em um espaço matemático abstrato conhecido como espaço bi ou tridimensional.

       Uma propriedade vital de um espaço euclidiano é sua plenitude. Existem outros espaços  que não são euclidianos, por exemplo, o espaço quadrimensional descrito pela teoria da relatividade quando a gravidade está presente não é euclidiano.

Por volta de 1900 o celebre matemático Henri Poincaré suas idéias serviram de um estudo mais profundo sobre teorias geométricas.

  Definimos espaço euclidiano como um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno.

·         Os  vetores no espaço vetorial correspondem aos pontos do plano euclidiano.

·         A operação da edição no espaço vetorial corresponde a translação e rotação.

·         O produto interno implica nações de ângulo e de distancia, que podem ser usadas para definir a rotação.

              Define-se dimensão como idéia  de caráter topológico que deve colocar uma evidência, isto é, uma definição que utilize nações topológicas.Entender realmente seu conceito de dimensões arbritárias para maior parte o vocabulário, os cálculos e as formulas não são feitas com mais dificuldade pela presença de mais dimensões.

  Entretanto, as rotações são mais úteis em dimensões elevadas, e visualizar espaços e dimensões mais elevadas torna-se difícil, mesmo para matemáticos experientes.

COMENTÁRIO: O objetivo deste trabalho foi detectar a presença de aprendizagens envolvidas no texto com fins de exploração na pesquisa. Esta foi uma pesquisa exploratória para apreender aspectos da dinâmica desse assunto, das características de base e dimensão nela envolvida e do reconhecimento que conduziram a reconhecer esses elementos. O campo da investigação foi realizado onde?

Bibliografia

• Apostila-As noções de espaço e dimensão;
 

• Apostila de Álgebra linear, universidade Federal do Ceará (centro de educação
tutorial). Fortaleza, Fevereiro/2010;

• www.wikipédia.com.br/significadodebaseedimensaodentrodaalgebralinear .

 

AUTARQUIA EDUCACIONAL DE AFOGADOS DA INGAZEIRA – AEDAI
FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE AFOGADOS DA INGAZEIRA – FAFOPAI
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR II
PROF.ª: ELIANA NOGUEIRA
ALUNA: Maria Elciane Feliz Leite Ribeiro
E-mail: elcianeribeiro@hotmail.com

ARTIGO

BASE E DIMENSÃO

O ensino da matemática e de forma particular, da base e dimensão deve vale-se das reflexões de estudiosos, nos diferentes períodos históricos, relacionando com a prática das mesmas e seus usos sociais para um bom êxito do desafiador processo de ensino-aprendizagem.

O entendimento de dimensão só nos últimos cinqüentas anos é que veio a ter um caráter de teoria exata e satisfatória. Na caminhada de estudos nessa área foi explorado na obra “os elementos” de Euclides e retomada em 1900 sob a ótica do estudioso Henri Poincaré.

Sabe-se que reza a definição de dimensão que: dimensão de um espaço é o número de parâmetros imprescindíveis à identificação de um ponto desse espaço.

É importante observarmos que a dimensão está vinculada á forma como o espaço se apresenta. Com relação ao espaço real o mesmo possui propriedades mais ou menos imprecisas. Sendo assim qestionamo-nos: será então o espaço geométrico uma construção puramente da lógica? Felizmente, mais do que um simples jogo lógico, o espaço geométrico representa uma imagem esquemática do espaço real, de grande utilidade, servindo-nos continuamente em todos os campos de atividades. Porém podemos afirmar que o espaço geométrico é uma construção lógica, cuja base é formada pelos axiomas. A geometria Euclidiana é bem simples e vale ressaltar que existem figuras que não tem dimensão (ponto), figuras com dimensão 2 (figuras planas) e figuras com dimensão 3(sólidos geométricos).

Assim, para descrever contornos de montanhas, a trajetória de gotículas de água quando penetram na terra, fazer cálculos envolvendo a superfície dos pulmões foi preciso realizar complicadas operações numéricas que resultaram nas chamadas dimensões fracionarias .

A dimensão 0, 5, por exemplo, indica que o objeto e mais do que uma linha cuja dimensão e 1. Mas em casos extraordinários, (astronomia ou atomística, etc.) Sejamos forçados a escolher um outro esquema, como por exemplo, a geometria Riemanniana.

Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos do espaço, podemos então calcular a sua distancia. Por mediação das coordenadas podemos calcular ângulos também e esse e o método aplicado pela geometria analítica. E evidente que a mesma construção lógica pode ser feita com quatro, cinco ou em número n de coordenadas, obtém-se então o espaço a n coordenadas ou a n dimensões. O conjunto ordenado de n números reais, e obtém-se o espaço todo, fazendo-se variar independentemente esses números. Nele podem-se construir a geometria analítica a n dimensões.

Vejamos essa situação: se um objeto estiver no armário ou cubo, só poderá ser retirado se a porta for aberta, só passará pelas faces do cubo se nelas abrir-se um orifício. Ora estando o nosso espaço “mergulhado” num espaço a quatro dimensões realizando-se através de formulas o movimento de deslocação do ponto na direção de um quarto eixo, transportando-se o referido paralelamente ao espaço e fazendo-se com que recaia no espaço de nossa intuição e experiência .

Voltemo-nos a pergunta-Qual e a razão pela qual este ou aquele contínuo tem n dimensões ou n graus de liberdade?

Podemos ressaltar que os elementos desse contínuo podem ser representados pelos pontos deste espaço, ou postos em correspondência com os pontos deste espaço a n dimensões.

Os estudos refletidos até aqui são de relativa importância, pois permitem ao matemático a tradução em linguagem geométrica de fatos e problemas analíticos ou algébricos e sugerem metodologias a grosso modo, praticando essa geometria se alcança certa intuição do espaço a n dimensões.


Referências Bibliográficas

• Apostila-As noções de espaço e dimensão
• www.wikipédia.com.br/significadodebaseedimensaodentrodaalgebralinear.
• SMOLE, Kátia Stocco. e Diniz,Maria Ignez. Matemática ensino médio. 2ª ed. Editora Saraiva.2003

AUTARQUIA EDUCACIONAL DE AFOGADOS DA INGAZEIRA – AEDAI

FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE AFOGADOS DA INGAZEIRA – FAFOPAI 

Fonte: super.abril.com.br

COMENTÁRIO: Nos estudos sobre a problemática considera-se que a base vinculada ao espaço, nesse caso vetorial tende a ser protagonizada por alunos, deslocando-se ou sendo transladados para a geometria euclidiana; sobretudo, por pela dificuldade de abstração. É importante assinalar a diferença entre base e dimensão uma vez que, embora certas interpretações considerem a relação, o que não significa necessariamente estar em situação de igualdade.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR II

PROF.ª: ELIANA NOGUEIRA

ALUNO: Anderson Ferreira Bonifácio

E-mail: anderbonny@hotmail.com

Geometria 

           O conceito de dimensão desenvolveu-se de tal forma que atualmente é comum aos matemáticos falarem de mundos de infinitas dimensões e até de objetos com número fracionário de dimensões. Há mais de 2.000 anos, os gregos, com base nos sentidos e nos princípios da Geometria de Euclides, o mais famoso matemático da Antigüidade greco-romana (século III a.C), viviam num mundo tridimensional. Eles observavam um mundo repleto de objetos com comprimento, largura e altura – tridimensionais. portanto, que considerassem o Universo que contém esses objetos também em três dimensões. Para Euclides, esses atributos (comprimento, largura e altura) correspondiam ao que chamamos matematicamente de dimensão. Assim, a linha passa a ser o modelo de objeto com apenas uma dimensão, pois tem só o comprimento. 

            Os objetos planos têm comprimentos e largura e, então, o plano passa a ser o modelo das coisas de duas dimensões. Já os sólidos, além de comprimento e largura, também têm altura e são os exemplos acabados de objetos tridimensionais. Dessa maneira, os matemáticos da época de Euclides concordavam com o senso comum de que o Universo é 3-D (tridimensional). Essa visão durou por séculos e a História tem algumas objeções à idéia de uma quarta dimensão. Uma delas é atribuída ao astrônomo Alexandrino Ptolomeu, que ponderava: se é possível desenharmos no espaço três eixos perpendiculares entre si, não podemos ainda seja perpendicular aos outros três. 

             Um exemplo dessa visão aparece no livro Pontes para o infinito, de Michael Guillem, quando trata do tema dimensões. Ele relata que o filósofo inglês Henry More (1614-1687) insistia na existência de fantasmas que habitariam a quarta dimensão foram repelidos nos centros científicos. 

           Um caso exemplar desse preconceito é o do matemático e filosofo René Descartes: expandindo a linguagem da Geometria euclidiana, ele viu surgir à possibilidade de uma quarta dimensão e prontamente a rejeitou por julgá-la irrealista. Na Geometria analítica inventada por Descartes, as dimensões de um objeto correspondem ao número de coordenadas necessárias para descrever com clareza seus pontos fica bem determinado pela longitude e latitude. O plano é bidimensional, isto é, dois números ordenados segundo uma convenção, determinam um ponto desse plano. Dessa forma, um sólido é tridimensional – três números ordenados localizam cada um dos seus pontos. Como destacou Guillem, tratava-se de dois enfoques diferentes: o de Euclides era qualitativo, assentado nas qualidades da forma (comprimento, largura e altura); o de Descartes, quantitativo, importava o número das coordenadas para descrever bem o objeto. Um interpretou nossas experiências sensoriais; o outro, nossa compreensão lógica. 

         Pode parecer pouco, mas tal mudança na visão do conceito de dimensão ocorreu quando os homens ainda estavam presos ao pensamento euclidiano. E não foi fácil perceber que um objeto da quarta dimensão não passa de uma entidade matemática que tem necessidade de quatro coordenadas para ser descrito adequadamente. Isso pode parecer óbvio, mas foi pouco para vencer a resistência dos matemáticos da geração de Descartes e dos que se seguiram, em aceitar a possibilidade da existência lógica de algo que não podiam visualizar. 

           Há menos de um século e meio, no entanto, Bernhard Riemann, jovem matemático alemão, ao estender a Geometria de Euclides e de Descartes, desenvolveu em detalhes a idéia de uma Geometria quadridimensional. Mais que isso: provou que a Geometria euclidiana é uma das muitas igualmente lógicas e consistentes geometrias que se referem a espaços de quaisquer números de dimensão, do zero ao infinito. De Riemann, em 1854, nasceram idéias absorvidas por Albert Einstein. Em 1915, Ele mostrou que, embora nosso universo pareça uma variedade 3-D, é, de fato, 4-D. Ao alargar a noção de dimensão ele dava o primeiro passo para se perceber a variedade espaço-temporal que é o Universo. Mas Ptolomeu não estava inteiramente errado: a régua que mede comprimento, largura e altura não é a mesma que mede o tempo. 

BASE E DIMENSÃO: UM POUCO DO CONHECIMENTO

FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE AFOGADOS DA INGAZEIRA – FAFOPAI
AUTARQUIA EDUCACIONAL DE AFOGADOS DA INGAZEIRA – AEDAI
CURSO: MATEMÁTICA PERIÓDO: 5º DATA: 30/06/2010
PROFESSORA: ELIANA NOGUEIRA
ALUNO: EDSON MARCOS


Tema: Base e Dimensão

        A matemática é como a nossa vida, aprendemos a cada dia que passa. Quando estamos aprendendo a andar, primeiramente engatinhamos e passamos por várias etapas para podermos caminhar firmemente em busca de nossos objetivos. Com a matemática não é diferente, primeiro aprendemos as quatro operações para consequentemente entender as outras etapas de conhecimento, dentre elas está o estudo da base e dimensão presente na geometria euclidiana e mais profundamente na álgebra linear.

       Inicialmente começamos a retratar a geometria euclidiana que trabalha a dimensão e a base limitada, ou seja, o máximo a ser trabalhado é a tridimensional (figuras planas que podem atingir no máximo três dimensões). Para melhor entendermos esse conceito nos basearemos no seguinte aspecto: um ponto, por exemplo, faz parte de um espaço, porém não contém uma dimensão; já quando mencionamos uma reta, a própria pertence a um espaço e contém dimensão; e quando nos aprofundamos cada vez mais em um plano podemos chegar a uma bi ou tridimensão, porém não podemos ser mais amplo mediante as suas outras dimensões, o que poderia dificultar a compreensão dos planos. Mas devido às necessidades enfrentadas surge a geometria analítica que vai mais além às n dimensões que possam surgir em determinados planos mais amplos. Para melhor explicar este fato podemos dizer que quem coordena esta infinidade de n dimensão é a sua base, a qual irá classificar se o espaço vetorial em estudo é ou não linear e se o compõe, além de todo esse procedimento conclui – se que para identificar sua dimensão é necessário descobrir sua solução trivial.

          Agora que tratamos de um assunto do nosso cotidiano e vimos que é possível trabalhar com n dimensões, sendo elas com suas respectivas classificações geométricas (euclidiana e algébrica), podemos dizer que temos informações e conclusões suficientes para solucionarmos problemas do cotidiano que possam surgir e envolver planos, seja ele, em qual dimensão esteja, mas que contenha um espaço. Só assim ele terá uma solução seja ela euclidiana (de uma ate três dimensões) ou analítica (n dimensões).

Referencias

http://www.scribd.com/doc/4419665/Algebra-Linear-I-Aula-09-567-Espacos-Vetoriais-Dimensao

http://professor.ucg.br/siteDocente/admin/arquivosUpload/4191/material/Programaalglinear.pdf

http://www.ime.uerj.br/~alglin/ApostilaAlgLinIII/ev.pdf

BOLDRINI, J.L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. Editora Harbra Ltda. 1980.

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/algebra/espvetor/espvetor.htm

Apostila de Álgebra Linear, universidade federal do ceará (centro de tecnologia, programa de educação tutorial). Fortaleza, Fevereiro/2010.

COMENTÁRIO: A pesquisa é a implementação de estudos de apoio pedagógico e tem por objetivo melhorar a qualidade na aprendizagem, mediante uma reorganização que favoreça a adoção de “novas metodologias” e conceitos, no aluno na disciplina trabalhada.

Definindo um pouco de Base e Dimensão

DEFININDO UM POUCO DE BASE E DIMENSÃO

Por Isabel Cristina P. M. dos Santos
5º Período em Matemática
Professora: Eliana Nogueira

A definição e o entendimento de Base e Dimensão surgiram na geometria euclidiana nos diferentes estudos de ponto, reta e plano, os quais pertencem ao espaço mas se diferem no que diz respeito a dimensão, pois no ponto não existe dimensão, já na reta e no plano existe sendo que diferentes, nestes estudos chegaram ao último grau de dimensão estudado dentro da geometria euclidiana, daí surgindo a necessidade de avançar mais ainda nestas pesquisas procurou-se por um campo que não se resumisse e sim estivesse em aberto a estudos mais amplos desta forma surgindo a geometria Analítica.
A geometria Analítica define e explicam Base e Dimensão da seguinte forma, Base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram o espaço, ou seja, a maneira mais simples de se resumir o espaço logo, todo conjunto linearmente independente é a base de um subespaço gerado por ele. Porém há espaços que não possuem base finita sendo que conseguimos gerar a mesma pegando o conjunto infinito de vetores fornecidos para este espaço, vale ressaltar que cada vetor de um espaço é uma combinação linear finita da base.
Já a dimensão é o número de vetores de uma base onde este espaço tem que ser linearmente independente e que para encontrarmos a mesma temos que primeiro desenvolver as soluções do sistema, pois é através da solução trivial que conseguiremos identifica – lá.
Portanto é diante de estudos como esses que desenvolvemos o entendimento e o significado destes dois elementos que estão muito junto dentro da geometria analítica.

Referências Bibliográficas

• www.wikipédia.com.br/significadodebaseedimensaodentrodaalgebralinear;
• Apostila sobre as noções de espaço e dimensão;
• Apostila de Álgebra linear, universidade Federal do Ceará (centro de educação tutorial). Fortaleza, Fevereiro/2010.

AUTARQUIA EDUCACIONAL DE AFOGADOS DA INGAZEIRA

FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE AFOGADOS DA INGAZEIRA
ALUNA: ROSA MESSIAS PEREIRA DA SILVA
PROFESSORA: ELIANA NOGUEIRA
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR
E-MAIL: rosapinkrosinhapink@hotmail.com

Noções de Base e Dimensão

          Para uma aprendizagem significativa conhecer um pouco sobre a teoria dos conteúdos pode ser uma experiência educacional mais empolgante e estimulante, pois é a base para quase toda a compreensão matemática e para muitos das grandes realizações do mundo moderno. Porém a necessidade de demonstrar algumas noções de conceito matemático sobre a teoria de base e dimensão que fazem parte da Álgebra Linear.

          Em matemática, a dimensão de um espaço é o número de parâmetros necessários para identificar um ponto desse espaço,porém na álgebra linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram esse espaço.

          A idéia de dimensão, embora uma das mais intuitivas e antigas da geometria, não foi objeto de uma teoria exata e satisfatória senão há cinquenta anos, e só nos ultimos tempos atingiu maior grau de perfeição. O problema, já abordado em “os elementos” de Euclides, foi retomado por volta de 1900, sob um novo aspecto, pelo célebre matemático Henri Poincaré. Suas ideias serviram de base ás investigações anteriores, que deram origem a uma das mais teorias geométricas.

            De certo modo, pode-se dizer que a questão da dimensão foi discutida com maior exatidão na teoria de corpos, pois se sabe atualmente que a extensão de um corpo é um espaço vetorial sobre o corpo original e a ordem da extensão é a dimensão deste espaço.

            De acordo com um matemático alemão chamado Richard Dedekind (1831 . 1916) deu a definição e as propriedades do que ele chamou de irredutibilidade (o que é atualmente conhecido como independência linear). Então, ele definiu um espaço (. Schaar.) Ω como o conjunto de todas as possíveis combinações lineares de um conjunto de n números irredutíveis sobre um corpo A. Ele chamou estes elementos de base de Ω e definiu as coordenadas de um elemento qualquer de Ω. Daí, ele apresentou três propriedades e provou que elas são as características de Ω.

(1). Os números de Ω se reproduzem pela adição e subtração..

(2). Todo produto de um número de Ω por um número de A é um númerodeΩ.

(3). Há n números independentes em Ω, mas, qualquer conjunto de n+1 números é dependente..

         Dedekind mostrou que se podem deduzir essas propriedades da definição e que somente (3) necessita de prova, que ele fez por indução, obtendo um resultado equivalente ao que Grassmann obteve com o teorema da mudança de base. Além disso, nesta prova, Dedekind não usou a teoria de equações lineares, embora utilizasse a representação com coordenadas. Ele também deduziu que todo sistema de n números irredutíveis de Ω constituem uma base de Ω. Dedekind ainda mostrou que um sistema de n números é constituído de irredutíveis se, e somente se, o determinante de suas coordenadas na base original não for zero (o equivalente da mudança 6 de base).

        Para Steinitz uma base de L é um conjunto de elementos tais que qualquer elemento de L pode ser representado de maneira única como uma combinação linear deles. Steinitz queria provar que toda base de L possuí n elementos e que todo conjunto de n elementos linearmente independentes formam uma base de L. Para alcançar esta meta, ele precisava provar que a ordem de uma extensão não pode ser maior que o número de geradores, o que ele de fato provou usando sua definição de base em termos de sistema de coordenadas, fazendo sua prova no contexto de n-uplas e equações lineares. Apesar de ser dedutível no trabalho de Dedekind, esta foi a primeira prova explícita, (desde a versão de 1862 do livro de Grassmann) de que um conjunto de n geradores não pode gerar um espaço de dimensão maior que n. De fato, após alguns resultados preparatórios, ele formulou três teoremas finais cujos resultados, quando relacionados com dependência algébrica são equivalentes ao teorema de mudança de base, ao teorema sobre completamente de um sistema independente em uma base, à invariância do número de elementos na base de um espaço linear e a propriedade da dimensão de um subespaço de um espaço linear de dimensão finita.

          A maneira que Steinitz apresentou seus resultados é tão dedutiva que se pode dizer que eles estão próximos da definição moderna do conceito geral de dependência (seja ela algébrica ou linear) de onde se poderiam deduzir os conceitos de dimensão e base.

Após comentar sobre a teoria base e dimensão aqui estão exemplos de dimensão em todos os domínios da ciência:

• Uma curva simples é um continuo a uma dimensão; é possível numerar os seus pontos com uma variável, isto é, pelo comprimento do arco da curva, a partir de certo ponto fixo.

• O tempo é um continuo a uma dimensão, pois se fixam os instantes por um número.

• Uma porção de superfície, de esfera, por exemplo, é um continuo a duas dimensões, cujos pontos podem ser descritos por dois números, ou seja, as duas coordenadas de uma carta topográfica da superfície: longitude e latitude.

• Os movimentos de um segmento, no plano, constituem um contínuo a três dimensões: qualquer movimento é dado por duas translações independentes e por uma rotação.

• Analogamente, os movimentos de um corpo no espaço têm seis graus de liberdade: três translações independentes e uma rotação que é dada por três números. Os movimentos espaço, dados por seis números, podem, portanto, ser representados por pontos do espaço a seis dimensões. (se fixarmos o ponto de um corpo em movimento, este terá apenas três graus de liberdade os da rotação. Se fixarmos dois pontos haverá só um grau de liberdade: o da rotação em torno da reta definida pelos dois pontos.) os físicos tem bem presente a particular importância do numero desses graus de liberdade, por exemplo, em termodinâmica.

• O estado de uma molécula em movimento pode ser dado por seis números: as três coordenadas do lugar e as três componentes da sua velocidade. Na teoria cinética dos gases, o estado de um gás constituído por N moléculas será dado, então, por 6N números e os diversos estados do gás podem ser representados pelos pontos do espaço a 6N dimensões.

• Para fixar o lugar e o tempo de um ponto que se desloca, ou de uma observação, necessitamos de quatro números: o continuo espaço-tempo é a quatro dimensões e podemos representá-lo pelos pontos do espaço a quatro dimensões, o que é de grande importância na Teoria da Relatividade.

• O espaço projetivo, ampliação do espaço geométrico euclidiano, tem quatro dimensões, sendo obtidos do euclidiano pela adição ao mesmo dos pontos que não se acham a uma distância finita da origem, os pontos impróprios ou pontos infinitos.

Posteriormente tendo demonstrado aplicação da dimensão na prática para necessidade social e humana vendo que a base e dimensão ambos estão interligados, percebemos a necessidade dessas duas presunções, pois as mesmas são imprescindíveis na matemática que por sua vez desenvolve conceitos, hipóteses e teses científicas auxiliando no progresso tecnológico para satisfação de um mundo contemporâneo.

BIBLIOGRAFIA:

*http://www.ime.usp.br

*postila “As noções de espaço e dimensão”

* Apostila da UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ:

http://www.4shared.com/file/DunyBvls/Apostila_de_Algebra_Linear.

COMENTÁRIO: Esta pesquisa teve a proposta de modo a adequar ao processo de ensino e de aprendizagem para aluno onde deverá beneficiar na construção de conceitos importantes sobre dimensão e espaço.

Álgebra Linear II, por José Leandro de Lima

AUTARQUIA EDUCACIONAL DE AFOGADOS DA INGAZEIRA – AEDAI
FACULDADE DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE AFOGADOS DA INGAZEIRA – FAFOPAI
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR II
PROF.ª: ELIANA NOGUEIRA
ALUNO: JOSÉ LEANDRO DE LIMA 
Email: leandrolima27@gmail.com

BASE E DIMENSÃO

          Assim como a própria matemática, a idéia de dimensão não surgiu pronta e acabada, foi fruto de estudos. Há cerca de cinqüenta anos essa teoria já passou a ter algo satisfatório e somente nos últimos tempos um maior grau de perfeição. O tema que já havia sido abordado por Euclides em “Os Elementos”, mas por volta de 1900 foi retomado pelo grande matemático Henri Poincaré. Seus estudos serviram de base para estudos ulteriores, que deram origem a essas teorias geométricas.

          Mas o que é espaço? Espaço pode ser visto de duas maneiras, espaço real, que é o espaço onde vivemos e temos nossas experiências perceptivas; e o espaço geométrico, que é uma criação abstrata e representativa. O espaço real em suma, está intimamente ligado a nossa percepção, experiências, que muitas vezes são enganosas e imprecisas. No espaço real, por exemplo, nada existe comparável a um ponto do espaço geométrico, pois qualquer corpúsculo por menor que seja possui um tamanho. Já no espaço geométrico os objetos têm propriedades exatas que são axiomas ou teoremas; e os seus objetos não se identificam com os inexatos da realidade, são abstratos e possuem apenas as propriedades que lhe foram atribuídas através dos axiomas e teoremas. É bem verdade que o espaço geométrico pode ser representativo do real, inspirado nele pode representá-lo de modo grosseiro, mas pode ultrapassar tudo o que o real pode oferecer. É possível ainda criar outras geometrias, escolhendo como base da construção lógica, outros axiomas um tanto diferentes. A mais simples é a Euclidiana que é bidimensional, capaz de representar um mundo completamente plano, por ter apenas dois eixos. Mas em casos mais complexos (como por exemplo, da astronomia), somos forçados a fugir do mundo plano e escolher outra geometria, em outra dimensão, como por exemplo, a Geometria Riemanniana. Mas a que nos apegamos em dizer que o espaço real pode ser representado por três dimensões? Vejamos que todo ponto do espaço geométrico pode ser caracterizado por três números reais, chamados de coordenadas, analogamente podemos fixar um número para um ponto de uma reta e um ponto do plano por dois números. As três coordenadas de um ponto A do espaço são, por exemplo, as três distâncias de A, a três planos perpendiculares, dois a dois. Fazendo variar esses três números, independentemente uns dos outros, podemos localizar todos os pontos do espaço. E a partir daí a geometria analítica se encarrega de trabalhar todas as propriedades. Então escolhemos o espaço a três dimensões para representar nosso espaço, tendo em vista que ele representa-o muito bem.
          No espaço geométrico existem ainda outras geometrias que dão suporte ao estudo de determinados objetos. Como destacamos a geometria tridimensional (a três dimensões), podemos estudar objetos no espaço, conhecendo todos os seus pontos. Da mesma forma existem geometrias capazes de representar objetos a quatro, cinco, seis, e a n dimensões. Um ponto desse espaço a n dimensões é conjunto ordenado de n números reais, e obtém-se o espaço todo fazendo variar esses números independentemente. Nesse espaço pode-se construir a geometria analítica a n dimensões, e a distância de dois pontos é calculada a partir das coordenadas, com o auxílio de uma fórmula análoga à utilizada para três dimensões.
          Poderá surgir a pergunta, se o espaço a, quatro, cinco, seis, ou a n dimensões existe, mas é inútil essa pergunta, porque os espaços são apenas construções lógicas e que não pretendem dar informações da realidade.
          Em suma, nós pensamos numa reta como sendo unidimensional, num plano como sendo bidimensional e no espaço a nossa volta como tridimensional. E como já destacado, a geometria analítica trabalha com qualquer dimensão. E objetos na quarta, quinta ou na n-dimensão, é bobagem nós querermos associá-los ao real, pois as dimensões são apenas construções lógicas, e não representações do real, ainda que a terceira dimensão possa representá-lo.

Referências

• http://books.google.com.br/books?hl=pt-BR&lr=&id=pOaaSKP9IcMC&oi=fnd&pg=PA19&dq=base+e+dimensão&ots=LI4ADpmZ9E&sig=sjIaGQa2-cG_DdD4rx29Y5rzQ6k#v=onepage&q=base%20e%20dimens%C3%A3o&f=false
• Apostila cedida pela professora Eliana Nogueira (a mesma não tem sua referência)
• Apostila da UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ:
http://www.4shared.com/file/DunyBvls/Apostila_de_Algebra_Linear.

Autarquia Educacional de Afogados da Ingazeira AEDAI

Faculdade de Formação de Professores de Afogados da Ingazeira FAFOPAI

Licenciatura em matemática

Departamento de matemática

Disciplina álgebra linear

Professora Eliana nogueira

Aluno Felipe André Rodrigues de Arruda

E-mail felipp_90@hotmail.com

Uma visão sobre base e dimensão

          Para que possamos realmente entender sobre base e dimensão temos antes que passear por campos da matemática menos complexo e mais empíricos, para que assim possamos construir uma fundamentação teórica ou aprimorar a que nos já foi construída durante a nossa vida acadêmica.

          Se entrarmos no campo da geometria euclidiana podemos encontrar o início da fundamentação teórica de base e dimensão, ou seja, encontraremos postulados e axiomas que nos auxiliaram a entender o raciocínio lógico para a construção da idéia de base e de n dimensões. A geometria euclidiana nos permite trabalhar com dimensões diferentes, se começarmos pelo ponto verificaremos que ele pertence a um espaço mais não tem uma dimensão, já se partimos para a reta identificaremos uma propriedade nova, tendo em vista que a reta também pertence a um espaço mais só que agora ela trás uma dimensão, se seguirmos e chegarmos a um plano constataremos que ele tem duas dimensões e consequentimente se avançarmos mais um pouco chegaremos ao cume da geometria euclidiana que é a terceira dimensão, utilizando-se dessas informações podemos constatar um pensamento lógico que nos permitirá forçar e abstrair a realidade que estamos condicionados, pois o campo da geometria euclidiana se resume apenas a nossa realidade por isso que ela trabalha apenas até a terceira dimensão o que nos dificulta a ter uma idéia mais ampla de espaço e dimensão, essa dificuldade é superada pela geometria analítica que nos abre novos horizontes tendo em vista que ela se desprende do palpável e se projeta sobre a idéia lógica que não existe limitações para espaços e dimensões.

          Uma parte da geometria analítica que nos prova e permite ir além das dimensões conhecidas, é a base, pois ela é responsável por conseguir identificar o DNA do espaço vetorial, mas o que seria o DNA do espaço vetorial? É o modo que diz quais são os traços, o que dar todas as características do espaço vetorial. Porém para que a base seja realmente o DNA do vetor ela tem que ser (L.I.) linearmente independente, pois é a parte mais resumida de um espaço vetorial, sendo assim conseguimos identificar quais os elementos que fazem parte do espaço vetorial ou não. E quando verificamos a solução trivial de um espaço vetorial podemos encontrar a qual dimensão ele pertence. Então através desses procedimentos citados acima chegamos à idéia que precisávamos para se desprender da geometria euclidiana e partir para um novo horizonte lógico mais que ainda não está ao alcance do sensível, porém está ao alcance da matemática abstrata.

          Agora que temos informações suficientes para constatar que a fundamentação teórica de base e de n dimensões é bastante lógica, então começamos a entrar em um mundo que sempre nos levará a resultados satisfatórios de situações que antes seria impossível de se chegar com as limitações impostas pela geometria euclidiana.

Bibliografia

*http://www.silvestre.eng.br/astronomia/artigos/bigbang/ Acesso em: 25 junho. 2010. 

*Apostila de Álgebra Linear, universidade federal do ceará (centro de tecnologia, programa de educação tutorial). Fortaleza, Fevereiro/2010.

Faculdade de Formação de Professores de Afogados da Ingazeira


Departamento de Matemática

Aluno: Diego Kennedy dos Reis

Disciplina: Álgebra Linear

Professora: Eliana Nogueira







Origem de Sistemas Lineares e Determinantes





Antes de falar sobre a origem dos sistemas lineares venho antes ressaltar a importância da história da matemática no seu ensino. Atualmente percebe-se que há uma crescente introdução dos aspectos históricos no ensino da matemática, o que mostra uma maior preocupação em levar o aluno a uma concepção mais construtiva do conhecimento, mostrando que a matemática de hoje é fruto de uma longa trajetória do ser humano na busca de resolver problemas de sobrevivência; sendo assim também esse artifício além dos jogos uma maneira lúdica de atrair o aluno para a aula. Por outro lado é muito interessantes conhecermos a contribuição de determinado conteúdo matemático para a humanidade.

Voltando para a Origem dos sistemas lineares esse não poderia ser diferente de outros conteúdos matemáticos que nasceram a partir da necessidade do homem. Um ramo da álgebra iniciado na antiguidade, desenvolveu-se nos últimos séculos e tem varias aplicações na sociedade atual é a álgebra linear. Vestígios dessa técnica puderam ser encontrados no papiro de Rhind, de aproximadamente 1650 AC, encontrado no Egito, e que atravessaram gerações até chegarem aos livros didáticos modernos, muitos dos problemas encontrados no papiro de Rhind exigiam apenas uma equação linear simples.

Quando falamos de matrizes e determinantes podemos voltar ao século 2 a.C

com os babilônios que resolviam problemas de produção agrícola vinculado ao que chamamos hoje de sistemas de equações lineares. Os enunciados decifrados a partir das tabuletas encontradas por arqueólogos revelam que os babilônios sabiam resolver sistemas simples, modelados a partir de necessidades práticas de mensuração; para os babilônios, as incógnitas eram grandezas geométricas que representavam comprimento, largura ou área. Os sistemas de equações lineares apareceram pouco na matemática antiga ocidental, merecendo assim uma maior a atenção no oriente com os chineses, que nos séculos II AC e I AC já utilizavam algoritmos para resolução de sistemas lineares. O algoritmo chinês reduz uma matriz a sua matriz triangular equivalente (livro nove capítulos da arte matemática “jiuzhang suanshu”). a solução oriental também requer a disposição dos coeficientes em uma tabela, que eram representadas por eles através de diagramas dispostos em um tabuleiro com coeficientes escritos com barras de bambu com uma diferença curiosa: cada equação ocupa uma coluna em vez de uma linha descobrindo assim o método de eliminação cuja essência foi reproduzida, bem mais tarde,por Gauss que utilizava operações opostas para anular os coeficientes.

Mas foi com Seki kowa considerado um dos maiores matemáticos japonês que em 1683 através do estudo dos sistemas lineares utilizando os procedimentos dos chineses ( duas equações ) deu a idéia de determinante como polinômios que se associam a um quadrado de números. O sentido atual do termo determinante surgiu em 1841 com Arthur Cayley (barras verticais ladeando um quadrado de números). Esse ainda afirma que a notação matricial foi concebida como “uma forma

conveniente de expressar equações”.

Quando vamos para o uso de determinante no ocidente começou com Gottfried W. Leibniz (16461716). ligado também a sistemas lineares. Leibniz estabeleceu a condição de existência de três equações com duas icógnitas em termos de ordem 3 formado por coeficientes e termos independentes ( neste caso nulos). Criou também uma notação com índices semelhante a que utilizamos hoje. Ex: I2.

Outra contribuição importante foi a do suíço Gabriel Cramer (1704-1752) que nomeou a regra (regra de Cramer) utilizada para resolver sistemas de n equações por n icógnitas por meio de determinante esse não foi o único protagonista dessa grandiosa descoberta, quando vamos para a história o escocês Chamado Colin maclaurin (1698- 1746) também chegou a esse feito provavelmente no ano de 1729 chegando a solução de equações lineares simultâneas em duas, três e quatro incógnitas. Embora só publicado postumamente em 1748 no seu Teatise of Álgebra. Mas foi por meio de Cramer que tais técnicas ganharam fama, principalmente por causa do uso de uma notação mais clara.

Atualmente os sistemas linear sendo uma ramificação da álgebra, permeiam a sociedade moderna resolvendo problemas do dia a dia da sociedade, assim como os babilônios e chineses. Por fim que a abordagem didática da história da matemática possa ser uma ferramenta muito importante para o trabalho de professores e aluno fornecendo-os uma visão sobre qual é feita a ciência colaborando não só para o

aprendizado efetivo dos conceitos matemáticos, mas também para uma reflexão do conhecimento cientifico.





REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS



• NELSON DOS SANTOS, ROBINSON, Uma breve história do desenvolvimento das teorias dos determinantes e das matrizes. SÃO PAULO 2007.





• GESTAR II, TP6, MATEMATICAS NAS MIGRAÇÕES E EM FENÔMENOS DO COTIDIANO, Pág.14: “A ALGEBRA AO LONGO DOS TEMPOS E NO MUNDO ATUAL”.







• ORIGEM DOS SISTEMAS LINEARES E DETERMINANTES, HYGINO H. DOMINGOS, http://osrascunhos.blogspot.com/2008/01/origem-dos-sistemas-lineares-e.html. em 06/08 2007.